Question

ふく

組み合わせと整数の問題で質問です。
様々な場合分けをしてますが偶数のときを考えるのならx=2mと-2mの場合のみを証明すればいいんじゃないんですか？(i)も必要な理由を教えてください。

Qo(x)=1, Q1(x)=2, Q(x)=(-2)
Q(土)=1,Qi(土)=1/2とし、一般に
2.4
Qn(x)=(x-2) (-4).....(x-2n+2)
n!.2"
とするが偶数のとき, Qn(x) は整数であることを示せ.
解答
Qo(x)=1であるから,n=0 のとき Qn(x)は整数である.
次に,n≧1のときについて調べる。
(i) =0, 2, 4, ......, 2n-2 のとき
Qn(x)=0
であるから,Qn(x) は整数である。こ
x=2m(mはn以上の整数)のとき
Qn(x)=Qm(2m)
2m(2m-2) (2m-4).....(2m-2n+2)
(中央大改)
=
n! 2n
m(m-1)(m-2).....(m-n+1)
=mCn
n!
よって, Qn(x) は整数である.
x=-2m (mは正の整数)のとき
Qn(x)=Qn(-2m)(
紗分
N!
NCr=
(N-r)!r!
___N (N-1) (N-2)･･･(N-r+1)
の形になっている
r!
(
-2m(-2m-2)(-2m-4)(-2m-2n+2)
=
n!.2"
=(-1)"m(m+1)(m+2)………(m+n-1)
=(-1)"m+n-1Cn
n! 6
よって, Qn(x) は整数である.
以上より
が偶数のとき Qn(x) は整数である.

組み合わせ 整数