Question

あゐ

写真2枚目の、3つの疑問点についてお答えしていただきたいです。

30***
中心 0.0′の20,0′があり2点
A, B で変わっている。 AO=3,00′'=4,
COSOAO=-
4
とする。
目標解答時間:16分)
18
(1)
AO'=
sin ZOAQ'=
sin∠ADO'
AB=
であり、ADO′の面積は
である。
(2)点Aを通る直線をℓとし, lと円の点A以外の交点をP,ℓと円の点A
以外の交点をQとする。 ただし, 2点 P, Qは直線ABに関して反対側にあるもの
とする。
このとき, BPQはタと相似である。
ゆえに,△BPQの面積は,∠PAB=チップのとき最大値テトナを
とる。
O
の解答群
AABP
① △ABQ
2 AAOO'
AABO
4 AABO'

B
1
R
Bo
kpQB=∠AD'O??
KPQBAD'では??
②
△BPQ
Ao
③BP
240
AO
AD
2
とは?
=2??とは??
0

S-AC-BD=15
15/3
15√3
2
また、四角形ABCDの内接円の中心Oと4辺AB.BC.
CD DA との距離は、すべて内接円の半径に等しいから
S=△ABO+△BCO+ ACDO+△DAO
=1/2AB+2/2
BC r+ 1/2CD+2DA
(AB+BC+CD+DA)r
-03+3+5+5
よって
AO'
sin∠A00' =
sin ZOAO
00°
2/15 15
4
4
線分AB との交点をCとすると ∠ACO=90°と
AC-BCより
AB=2AC=2-AO sin∠ADO'
√15 3/15
=2.3-
8
4
また
AA00-100-AC
=
(1-4-(3))
=8r-
15/3
3/15 3/15
よって、8ヶ
であり
15/3
4-
2
8
4
16
中心から辺 AB, AD に引いた垂線と 辺 AB, AD との
交点をそれぞれF G とすると
(2)
<QPB= ∠APB= 1/12 AOB
<SPB=A00
OF=OG= ∠OFA KOCA-90°
22A00A00
であるから, △OFA=△OGA である。
同様に ∠PQB= ∠AD'O であるから
よって OA BAD の二等分線であるから
AAOO' ABPQ
<PRBICADO
ZFAO-BAD
1/12BAD-120 - 120°=60°
であり
であり
ABPQ BP
AAOO' AO
よって
15/3
A0=-
OF
16
15
BP 2
△BPQ= |
△A00
sin FAQ
sin 60°
√3
AO
2
角
(注) AB+CD=BC+AD であるから, 四角形ABCDは
円に外接し、題意のような円が存在する。
AO
4
であるから, ABPQの面積が最大になるのはBPが最大
となると すなわち, BP が円0の直径となるときで
ある。このとき, ∠PAB=90° であり
30
(1) ADO′に余弦定理を用いて
(▶1-4-(2))
BP
2AO
=
=2
AO2+AO^~2AO-AO' cos∠OAO'00'
AO AO
17
3+AO-2-3-AO (-)-
したがって, △BPQの面積が最大になるのは ∠PAB=90°
のときであり, BPQの面積の最大値は
2AO+3AO-14=0
(▶1-3-(4))
3/15
22.
=3/15
(AO'-2)(2AO'+7)= 0
AO'>0より
AQ'=2
また
sinOAO'=√1-cos' OAO'
(▶1-4-(1))
√15
==
であるから, AOO' に正弦定理を用いて
AO'
00'
sin∠AOO'
sin 40AO'
-23-

図性と測量

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

れお

①図書き直したらちゃんと∠PQB＝∠AO'Oになるはず…？1枚目の問題に書かれてる向きとは違うから注意した方がいいかも、AとO'が逆になってる！
②面積比＝(相似比)²だから辺の長さを2乗した値が面積比の値になる！
③BPは直径、AOは半径だから、、単純に考えて直径は半径の2倍だよねって言うのを式に表しただけっていうか…同じ文字は約分できるから。

あゐ

3番はわかりました！
1番はやっぱり何度図を描きなおしても合いません、、お手数ですが書いてくださると助かります。2番に関してはどうやったはBPとＡOを選ぼうという考えになるんでしょうか、、同じ三角形内の他の辺ではない理由が知りたいです。

れお

さっき(？)の説明、分かりづらくてごめん🙇🏻
①は画像を見てください！
②は、BPとAOじゃなくても出来る！
・BQとAO' ⇒BQは円O'における直径、AO'は半径でありBQ/AO'＝2
・PQとO'O⇒△BPQと△BOO'で中点連結定理よりPQ/O'O＝2
要は相似比が分かればどこの辺でも良いってこと！模範解答ではたまたまBPとAOを使ってるだけです！

あゐ

2番に関しては理解できました！どこの辺でもできるんですね！1番に関しての疑問はこうです。うまく伝えられなくて申し訳ないです💦

れお

∠PQB＝∠AO'Oだけでその図を書くことはできないかな
∠PQB＝∠AO'Oはあくまで「角の大きさが等しい」ってだけで、「点Pと点A、点Bと点Oが対応していますよ」って意味じゃない。対応してるのは、真ん中の「点Qと点O'」だけ。∠PQB＝∠BQP＝∠AO'Oだから、△PQB∽△AO'Oかもしれないし、△BQP∽△AO'Oかもしれないでしょ。
相似の条件って、「2つの角がそれぞれ等しい」だよね？だから、△PQB∽△AO'Oって図を書くためには、あともう1つ∠QBP＝∠O'OAか、∠BPQ＝∠OAO'を示さないといけない。(円周角とか弧の関係とか、相似以外の手段で)

あゐ

なるほど必ずしも全てが対応するというわけではないのですね 、、勉強になりました✨ありがとう御座います！！たすかりました！

れお

そうです！何回も問答させちゃってごめんね🙇🏻こちらこそ解決して良かったです！