Question

キト

二次方程式の共通解の問題です。
青チャートに載っていた方法で問題を解いたのですが間違いになってしまいます。
混乱するのでテンプレートを崩すことは避けたいと思っているのですが、
1枚目の解放を使う時と2枚目の解放を使うときの見分け方はありますか？

41
(2a+b-1)x+(-5a-5)
(2a+b-1)x+(-54-5)=0となればよい。
xについての恒等式より、係数を比較して
J2a+6-1=0
1-54-5=0
[a=-1
b=3
これを解いて
xx +3x+5=0
よってx=1±2i,
(x+1)(x²-2x+5)=0
1
したがって (a, b) = (-1,3)
他の2つの解は 1+2i, 1
40
共通解を α とすると
a²+a+a=0
a²+3a+2a=0
αを消去して2(+α) (+3a) = 0.
a-a-0. a(a-1)=0.
a=0 のとき α=0, a=1のとき α=-2
よって a=-20
x=1が解であるので、代入して
1+a+b=0,b=-1-a
このとき x+αx-1-a = 0
(x-1)(x²+x+a+1)= 0
40
2つの2次方程式x+x+a=0, x+3x+2a=0 が共通解をもつように, αの値を
x+a+α:0
α tsx pa o
2ata=0
-20:0
x²+α-2x=0
(x+2)(x+1)=0
X=-2.1.
a = -2 H
02130-40=0
(x+4)(α-1)=0
α=-411

3
3章
11
1 2次方程式
重要 例題 102 2次方程式の共通解
00000
2つの2次方程式 2x2+kx+4=0,x2+x+k=0がただ1つの共通の実数解をも
つように定数の値を定め,その共通解を求めよ。
基本97
指針 2つの方程式に共通な解の問題であるから,一方の方程式の解を求めることができ
たら,その解を他方に代入することによって, 定数の値を求めることができる。 しか
しこの例題の方程式ではうまくいかない。 このような共通解の問題では,次の解法
が一般的である。
2つの方程式の共通解を x=αとおいて,それぞれの方程式に代入すると
2a2+ka+4=0
①, a²+a+k=0
これをα, kについての連立方程式とみて解く。
2
②から導かれる k=-d2-α を ①に代入 (kを消去) してもよいが、3次方程式と
なって数学Ⅰの範囲では解けない。 この問題では,最高次の項であるαの項を消去す
ることを考える。 なお、共通の「実数解」という問題の条件に注意。
CHART 方程式の共通解 共通解を x =α とおく
共通解を x=α とおいて, 方程式にそれぞれ代入すると
2a2+ka+4=0
①-② ×2 から
|解答
ゆえに
よって
[1] k=2のとき
①,
a²+a+k=0
(k-2)a+4-2k=0
(k-2)(a-2)=0
k=2 または α=2
171
αの項を消去。この考
え方は, 連立1次方程式
を加減法で解くことに似
ている。
2つの方程式はともにx'+x+2=0となり, この方程式 数学Ⅰの範囲では,
の判別式をDとすると
D=12-4・1・2=-7
D< 0 であるから,この方程式は実数解をもたない。
ゆえに、2つの方程式は共通の実数解をもたない。
x2+x+2=0の解を求め
ることはできない。
[2] α=2のとき
②から
22+2+k=0
よって
k=-6
< α=2 を ①に代入しても
い
このとき2つの方程式は2x26x+4=0, x2+x-6=0
すなわち 2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0とな
り,解はそれぞれ
x=1,2;
x=2, -3
よって、2つの方程式はただ1つの共通の実数解 x=2
をもつ。
以上から
=-6, 共通解はx=2
x = αをもつと仮定してαやkの値を求めているから,
条件を満たすかど

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

何のことはない、単なる計算ミスです
aを消してα²+α-2α=0のあと、正しくはα²-α=0となり、
以下模範解答と同じです

混乱するといっても、複数の方針を身につけていて、
それを臨機応変に選んでいくことが
数学では求められると思うのですが…

見分け方は特にありません
<消しやすいものを消す> というのが
シンプルかつ応用性のある方針です

模範解答とあなたの答案は、結局のところ
aを消すという点でまったく同じです
（あなたは最初α²を消しましたが、
結局aを消すことにしました）

模範解答のaを消す方針は、文字をαだけにすぐできて、
かつαの2次式レベルで済むメリットがあります
あなたのα²を消す方針は、1次式にはなりますが、
αもaも残るので、その点でひと手遅くなります

チャートの方針もα²を消す方針ですが、
この場合、問題設定的にその方が楽になります
kを消すとαの3次式になるので大変なことは明白です
仕方ないので試しにα²を消してみると、
なんとその結果が因数分解できて簡単に処理できるので、
α²を消す方が楽ということになります
（もしもα²を消して変な扱いにくい式になったら、
kを消してαの3次式にする方がマシかもしれません）

ということで、何を消すと楽かは問題によります
いろいろな場合に備えないと困るわけですね

キト

ありがとうございます。
間違いの原因が計算間違いだったというのは安心…できたんですけど、起こらないように対策せねばなりませんね。ここに出す質問のそこそこの割合を占めているような気がします。

解法の選び方も参考になりました。以後意識してみたいと思います。