Question

はる

数列anの初項から第n項までの和をSnとする。
a1＝1、an+1＝Sn+(n+1)^2 (n＝1.2.3...)

【1】an+1をanとnの式で表すとan+1＝○○である。
全然分からないのでめっちゃ詳しく教えて欲しいです！
漸化式について全然理解出来てないので追加で質問するかもしれません。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

a(n+1)=Sn+(n+1)²･･･①より
(ⅰ)n≧2のとき
an=S(n-1)+n²･･･②
またSn=an+S(n-1)なので
①はa(n+1)=an+S(n-1)+(n+1)²･･･③と表せる。
③-②より
a(n+1)-an=an+(n+1)²-n²
よってa(n+1)=2an+(n+1)²-n²･･･④
(ⅱ)n=1のとき
④より
a2=2a1+2²-1²=2+4-1=5
また仮定よりa2=S1+2²=a1+4=5
よってn=1のときも④は成り立つ。
以上(ⅰ)(ⅱ)より任意の自然数nについて
a(n+1)=2an+(n+1)²-n²が成り立つ。