基本 例題 12 等比中項
00000
3つの実数a, b, cはこの順で等比数列になり,c, a, bの順で等差数列になる。
a,b,cの積が-27 であるとき, a,b,cの値を求めよ。
指針等比数列をなす3つの数の表し方には,次の3通りがある。
①初項 α,公比rとしてa, ar, ar² と表す
② 中央の項α 公比rとしてar', a, ar と表す
③ 数列 a,b,cが等比数列 ⇔ b2=ac を利用
[類 成蹊大 ]
P.427 基本事項 2 基本4
(公比形)
(対称形)
(平均形)
等差数列をなす3つの数の表し方は,次の3通り (p.419 参照)。
① 公差形 a, a+d, a +2d と表す
② 対称形 a-d, a, a+d と表す
③ 平均形 26=α+c を利用
数列 a, b c が等比数列をなすから
62=ac
解答 数列 c, a, b が等差数列をなすから 2a=c+b
a b c の積が27 であるから
abc=-27... ③
①を③ に代入して
63-27
bは実数であるから b=-3
429
③ 平均形 b2=ac を利用。
a は c, bの等差中項。
<b³=(-3)³
1
章
②
等比数列
これを ①,② に代入して
これらからcを消去して
左辺を因数分解して
ac=9,20=c-3
2a2+3a-9=0
<c=2a+3 を ac=9に代入。
(α+3)(23)=0
3
これを解いて
a=-3,
ac=9に代入して
2
a=-3のとき c=-3
よって
(a,b,c)=(-3,-3, -3), ( 1, -3,
a=
=1212 のとき c=6
別解 数列 a,b,cが等比数列をなすから,公比をrと公比形 α, ar, ar” と
すると b=ar, c=ar2
a b c の積が27であるから abc=-27
a・arar2=-27 すなわち (ar)=-27
よって
ゆえに ar=-3
b=ar=-3であるから
ac=9...... ①
また, 数列 c, a, b が等差数列をなすから
2a=c+b
よって 2a=c-3
******
①,② から, cを消去して 2a2+3a-9=0
以下,上の解答と同様に計算する。
表す。
晶検討
② 対称形を用いる。
a=br-l, c=br とすると
br .b·br=-27
よって
6=-27
ゆえに b=-3
理解できました。
わかりやすい説明をすぐにしていただきありがとうございます！！！