Question

はみるのん

整列集合の比較定理の証明をしたのですがこれで大丈夫なのでしょうか？添削またはおかしなところ、そもそもその証明は違うなど意見をください！！

3. 整列集合の比較定理の証明
Thm.11.5.
整列集合(W,≤) (W's')に対し、次のいずれか1つだけが成立する
(1)W~ Wi
(2)
'W', s.tw~W'<';
(3) news.tw<a>~w'
Proof
①/wl=1 かつ |W'l=1
• W = {x}
• W' = {x'}
f:WW' fca)xと定義すると、fは順序全単射となる。
を
したがってWW... (1)
|wl=1かつ|WI≧2
W={x}
・xi=minw、
・X2=min (w\{x})
f:WW'<X2'>をf(x)=xiと定義すると、fは順序全単射となる
したがってW~W'<X> 111(2)
③|W=1 かつ
IWI≥2
• W'= {x}
x=min W
•X2
= min (w\ {x})
f: W<X2> →W'f(x)=xと定義すると、fは順序全単射となる。
したがって W<X>~W
④ 1Wl=2
•
.
(3)
115
かつWI≧2
x=min w
x=min W'
.
X₂
=
min (w\{x})
.
X2=min(W\{})
fW<X> W'<x^^'>をf(x)=x'と定義するとfは順序全単射となる。
したがってW<X>~W'<X>であり
•
W~W'<Xd> のとき (2)
WW のとき (3)
以上からWW'の間には必ず(1)(2)(3)のいずれかの関係が成り立つ.