Question

すわ

(2)黄色マーカーで示したところが‪√‬6/8πにならないです。指摘お願いします。

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重要 例題 172 正四面体と球
1辺の長さがαである正四面体 ABCD がある。
(1) 正四面体 ABCD に外接する球の半径R を a を用いて表せ。
(2)(1) の半径Rの球と正四面体 ABCD の体積比を求めよ。
(3) 正四面体 ABCD に内接する球の半径rをαを用いて表せ。
(4)(3)の半径rの球と正四面体 ABCD の体積比を求めよ。
指針 (1) 頂点Aから底面 ABCD に垂線 AH を下ろす。
外接する球の中心を0とすると,
OA=OB=OC=OD (=R) である。
また, 直線AH上の点Pに対して、
PB=PC=PD であるから, 0は直線AH 上にある。
よって, 直角三角形 OBH に着目して考える。
(2) 半径Rの球の体積は 1/2
(3) 内接する球の中心をI とすると, Iから正四面体
の各面に下ろした垂線の長さは等しい。 正四面体を
Iを頂点とする4つの合同な四面体に分けると
(正四面体 ABCDの体積)=4×(四面体 IBCD の体積)
これから半径を求める
00000
基本 167 170
D
B
(例題 167 (3) 三角形の内接円の半径を求めるとき,
三角形を3つに分け, 面積を利用したのと同様)
C
解答
(1) 頂点Aから底面 ABCD に垂線AH を下ろし、 外接
する球の中心を0とすると, 0は線分AH上にあり
OA=OB=R
ゆえに
OH=AH-OA=- -a-R
√6
√√6
3
AH-
a₁
3
△OBH は直角三角形であるから, 三平方の定理により
BH'+OH = OB2
a
BH=
よって()+(-"-R=
170 (1) の結果を
整理して α2- -aR=0
2√√6
3
ゆえに R=
3
√6
a=.
a
2√6
4
(2) 正四面体 ABCD の体積をVとすると
V=
8.D.
<V=
12
また, 半径R の球の体積を V, とすると
Vi=12TR
√6
=
π3
3
8
よって V1:V= na3:
√6
/2
39: 2√3
8
12
170 (2) の結

手
支
486.
3
3√6
3626
64
a
164

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

アファール

√6の3乗は6√6です

すわ

ありがとうございました。