Question

Σ

Pn＋1はなぜこのような座標になるのですか？

里妛 例題161
面積と数列の和の極限
曲線 y=ex をCとする。
(1) C上の点P1 (0, 1) における接線とx軸との交点を Q1 とし, Q を通りx
軸に垂直な直線とCとの交点をP2 とする。 Cおよび2つの線分 PiQ1,
Q1P2 で囲まれる部分の面積Sを求めよ。
(2) 自然数nに対して, P, から Q, P+1 を次のように定める。 C上の点P
における接線とx軸との交点をQnとし, Qnを通りx軸に垂直な直線とC
との交点をP1 とする。 Cおよび2つの線分PnQn, QnP+1 で囲まれる部
分の面積Sを求めよ。
8
(3) 無限級数 ΣS の和を求めよ。
n=1
[類 長岡技科大 ]
基本153

(2) Pn(an, e-an) とすると,点P, における接線の方程式は
y-e-an-e-an(x-an)
y=0 とすると
-e-an-e-an(x-an)
e-an≠0 であるから
s1=x-an
よって
1=x-an
x=an+1
ゆえに点Qm の座標は
Qn(an+1,0)
sar
←y-f(a)=f'(a)(x-a)
P
Sn
S+1
P+1
Pn+2
Qn-1
an
1-an+1
1. Qn+1
x
1Qn
Q とP+1のx座標は等しいから
An+1=an+1
数列{an} は,初項 α1 = 0, 公差1の等差数列であるから
an=0+(n-1)・1=n-1
20
Sn=Sn_e-dx-12{n-(n-1)}*e-(n-1)
■Pn+1 (an+1, e-an+1) であ
る。
初項 α, 公差dの等差数
列の一般項は
an=a+(n-1)d
よって
n
= [e] - e²+1
1 -n+1
2
1
-n+1
=-e-nte-n-
-n+1
e
2
=
=
-e-nt-
1 -n+1
2
+
e
e-2
e
2
-n
(+)