Question

Σ

Pn＋1のx座標はなぜこのようになるのですか？

重要 例題 161 面積と数列の和の極限
曲線 y=ex をCとする。
(1) C上の点P, (0, 1) における接線とx軸との交点を Q1 とし, Q1 を通りx
軸に垂直な直線とCとの交点をP2 とする。 Cおよび2つの線分 PiQ1,
QP2 で囲まれる部分の面積Sを求めよ。
2120
(2)自然数nに対して, PnからQn, Pn+1 を次のように定める。 C上の点P
における接線とx軸との交点をQnとし, Qn を通りx軸に垂直な直線と C
との交点をP+1 とする。 Cおよび2つの線分 PnQn, QnPn+1 で囲まれる部
分の面積Sを求めよ。
8
(3)無限級数ΣSnの和を求めよ。
n=1
20
[類 長岡技科大]
基本 153

(2) Pn(an, e-an) とすると,点P”における接線の方程式は
y-e-an=-e-an(x-an)
y=0 とするとIOCCER
y-f(a)=f' (a)(x-a)
-e-an=-e-an(x-an)
e-an≠0 であるから
2
よって
x=an+1
ASP1=x-an
ゆえに点Qnの座標は
Qn(an+1.0)
QnとPn+1のx座標は等しいから
( )
An+1=an+1
50597
数列{an} は,初項 α1 = 0, 公差 1 の等差数列であるから
an=0+(n-1)・1=n-1
よって
cn
-x
Sn=S", e¯* dx-11. {n(n−1)}.e¯(n-1)
n-1
2
Pn
Sn
Sn+1
P₂+1
Pn+2
Qn-1
Qn
an--1-an+1
--1--Qn+1
←P+1 (an+1, e-an+1) であ
る。
初項 α, 公差dの等差数
列の一般項は
an=a+(n-1)d
=[
n
=-x-1/2-m
-n+1
e
=-e-n+e-n+1.
=-e-n
-n+-
2
-n+1
=(-1+1/20)
=
e-2
2
-e
-n
1 -n+1
2€
(+
((+2)
J.