Question

浪人

この問題の答えのf(x)=f(x＋P)のところからさっぱり分かんないです。なぜそうなるのか、成り立つのかも分からないし、x=0と６πをどうやってそんな簡単に見つけたのかも分かんないです。ものすごく噛み砕いて説明してくださると嬉しいです。お願いします。

関数
tus杢の基本周期(周期のうち、正で
を求めよ。
最小のもの

基本周期を とする.
このとき すべてのxに対してf(x+p)=f(x), す

なわち,
x+p
x+p
COS
+cos
COS
3
2
+
+ cos
が成り立つ.
x=0, 6のとき(*) が成り立つことから,
cos+cos=2
COS
3
よって,
COS
COS
3
22
=0
cos=1, cos=1
COS
COS
.. (*)
p>0より,
1/2/3 = 21,
p=6lz,
すなわち,
=2mπ (l, m は正の整数)
2
p=4m² (l, mは正の整数)
p=12n (nは正の整数)
p=12のとき,
f(x+p)=f(x+12)
x+12
x+12
=COS
+ cos
3
2
= cos(+4x) + cos(+6x)
=COS
x
=COS +cos
x
2
であるから, すべてのxに対してf(x+p)=f(x) が
成り立つ.
以上より,f(x) の基本周期は,
12π

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ふぃる

そもそも関数fの周期がpであるとは
「全てのxに対してf(x+p)=f(x)」になる事です
最初にpを周期と仮定したので
｢｣が成立します。
つまりxに何を代入してもf(x+p)=f(x)が成立するから、特にx=0,6πを代入してみたという事です。
恒等式の係数の求め方(数値代入法)と同じ要領です。
なぜこれを代入するかは計算しやすそうだからという事にはなりますが…確実に解きやすい値を見つける方法があるのかは分かりません

あと注意としては数値代入法のときと同様、必要条件で攻めているので最後に確かに12πで周期になることを確かめる(十分性の確認)必要があります

浪人

すべてのｘに対してf(x＋p)=f(x)は関数fの周期がpであることの定義って事ですか？

ふぃる

そうですね。ただ僕の書き方だとfに対してpが1つに定まるように見えるので｢関数fが周期pを持つ｣として、そう定義するべきでした。
例えばsin(x+2π)=sin(x+4π)=sin(x)なのでsinは周期として2πや4πを持つと言えます。

浪人

なるほど！理解出来ました。丁寧に教えて下さりありがとうございました。