Question

あああの

(2)の問題で回答を見てもどうしてこのような式変形になるのか分かりません。教えてください。

154
第6章 順列組合
基礎問
94 階乗, Pr, nCy の計算の
(1)次の計算をせよ.
(i) 8!-6!
10!
(ii)
(iii) 7P3
7!
(iv) 6C4
(2)次の式が成りたつことを示せ.
|精講
(i) nCr=nCn-r (ii) nCr=n-1Cr-1+n-1Cr
(1)(i), (ii) 記号 n! は「nの階乗」と読みますが,これは,
nx(n-1)×…×2×1 とnから1までをかけることを表す記
号です.ただし, 0!=1 と約束します.
n! は 「異なるn個のものを並べる方法」 の総数を表します。
(Ⅲ) P, は「異なるn個のものから個のものを選んで並べる方法」 の総数
を表す記号で,この総数は
nx(n-1)××(n-r+1) と表せるので
nPr=
n!
(n-r)! が成りたちます.
(iv) Cr は「異なるn個のものから個のものを選ぶ方法」 の総数を表す記
号で,個のものを並べる方法が! 通りあることを考えると
Cr = "Pr, +4b5, Cr=r!(n-
r!
(2)(i), (ii)ともに
r!(n-r)!
nCr= n!
を使います.
解答
(1)(i) 8!-6!=6!(8・7-1)=720×55
=39600
(ii) 10!
10.9.8.7!
7!
=10・9・8=720
7!
(iii)P3-
=
(iv) 6C4=
7!
4!
=7・6・5=7・3・10=210
6!
6.5
=15
4!2!
が成りたちます.
8!, 6! を計算してひ
くのではなく, 6! で
くくるのがコツ
生につくると
ラク

un!
(2)(inCr=
r!(n-r)!
より
n!
n!
nCn-r=(n−r)!{n−(n−r)}! ¯¯ (n−r)!r!=nCr
nCr=nCn-r
155
第6章
記
(i) n-Cr-1+n-1Cr
(n-1)!
(n-1)!
+
(r-1)! (n-r)!r!(n-r-1)!
(n-1)!{r+(n-1)}_(n-1)!n
=
r!(n-r)!
:nCr=n-1Cr-1+n-1Cr
ポイント
•
総数
表す記
算してひ
6.で
.
n!
=nCr
r!(n-r)!!(n-r)!
n!=nX(n−1)x…x2x1
n!
nPr= (n-r)!
・0!=1
n!
·nCr=r!(n− r)!
I (1)(iv) は (2) (i) を使うと, C2 を計算すればよいことがわかります。
注Ⅱ
参考
PrとnCrの間には nPr="CrXr! の関係式があることがわかります。
(2)(i) の意味 >
Crはn個のものから個のものを選ぶ方法を表しますが, 逆
に考えると
(n-r) 個の残すものを選ぶことと同じ
です. だから,nCr=nCn-r が成りたちます。
< (ii)の意味 〉
あります。 人の中の特定の1人(たとえば自分)に着目すると, 合格する
人の受験生から人の合格者を選ぶことを考えると, Cr 通りの方法が
場合と不合格の場合しかありません.
自分が合格する場合は (n-1) 人の受験生から (r-1) 人の合格者を選べ
ばよく、自分が不合格の場合は, (n-1) 人の受験生から人の合格者を選べ
ばよく、それぞれn-1Cr-1, n-1 Cr通りあります。
よって, 和の法則より Cr=C-1+ Cr が成りたちます。
たつことを示せ.