Question

てぬ

数A 組み合わせ

カの問題がなぜ答えのようになるのかが分かりません。
教えていただけると嬉しいです！

8 以下は自然数, は以下の自然数とする。 次の先生と百まんさん
に当てはまる記号や数式, 数字を
とイヌワシ君の会話を読み、
答えよ。 大間 8 は解答欄に答のみを記入せよ。
先生:C の値をどのように考えたらいいと思う?
百まんさん: n個から0個とる組合せの総数なので0じゃないのかな。
イヌワシ君:まって, 確か。 Po=1,0!=1 と定めたはずだよ。 このことと,
ア
C, C,=
7!
と表されることから,Co=
イ
と定め
るといいんじゃないかな。
先生:その通り。 他の考え方もあり, 例えば6人から4人を選ぶことは, 選ば
ない2人を決めることと同じなので, 6C4 = C2 の等式が成り立ちます。
一般に,n個から個取る組合せの総数は, n個から ウ個取る組
合せの総数と同じなので,nC=n
= "q
・①の等式が成り立
(ウ)
つ。 これより C の値は
I と等しいと考えることが出来るので
Cは(イ)と言えます。
百まんさん: ①の他にもCに関連する等式はありますか?
先生: 1 C, C,+C1-1
･･② という等式が成り立ちます。
まんさん:例えばC=C+オ となるはずですね。確かめてみま
す•••••• ほんとだ, 確かに両辺とも126になっています。
先生 ②の等式は次のように説明出来ます。 1.2.3..
+1のn+1枚
のカードから枚取る組合せを のカードに注目して、次の2つの
組合せのグループに分けます。
(A) 1 のカードを含んでいる組合せのグループ
(B) のカードを含まない組合せのグループ
(A) は カ通りあり、(B) はキ通りあります。
n+1枚のカードから枚取る組合せは必ず (A) か (B) のいずれかの
グループに含まれているので,②の等式が成り立ちます。
イヌワシ君: なるほど。 この考え方を応用すれば新しい等式を作ることが出来
そうです。 を2以上の自然数として,n+2枚のカードからr枚
取る組合せを
(A) 1 を含む組合せ
(B) 1 を含まず 2 を含む組合せ
(C) I も2も含まない組合せ
に分類して考えると, 新しい等式が得られるのではないで
しょうか。
先生 さすがイヌワシ君。 よく出来ました。

8
Eの上の点をSとする。 Dの上の点をRとする。
Eへの最短経路はCかDかSを通るものに分けられる。Cを通
ってEに至る経路は(2)より9通り。
Dを通るものは(3)より30通り。
Sを通るものはAからRまでの最短経路を考えて
44!
2!
=12通りと、 QからSに至る3通りを加えて15通り。
以上より9+30+15=54通り
③ ③ ④ ⑥で16
ア
„P,
1
①
83 または 56
C.
2
カ
C,-1
①
①
C
(1)
⑥
+1C12C1-1+C,=+2C,
より計6
2枚目 138