Question

苺大福

(1)、(2)、(3)の解説をお願いします🙇‍♀️

67階差数列を利用して,次の数列{an}の一般項を求めよ。
(1)1, 5, 13, 25, 41,
*(3) 1,2,6, 15, 31,
*(2)5,7,11,19,35,
(4)2,9, 20, 35, 54,
....

67 (1) この数列の階差数列は
4, 8, 12, 16, ......
その一般項を b, とすると, b=4nである。
よって, n≧2のとき
すな
a„=a₁+ Σ4k=1+4·
k=1
すなわち an=2n2-2n+1
24k=1+4 · 1/2(n-1)n
初項
にも
した
初項は =1であるから,この式は n=1のとき
注意
にも成り立つ。
ゆえに,一般項は
an=2n2-2n+1
(2)この数列の階差数列は
2,4,8,16,
2, 4, 8, 16, ......
その一般項をb, とすると, b,=2" である。コ
68
初
n

よって, n≧2のとき
n-1
an=1+2=5+
||k=1
すなわち
a=2"+3
2(2"-1-1)
2-1
初項はα=5であるから,この式は n=1のとき
にも成り立つ。
3
ゆえに, 一般項は
an=2" +3
(3)この数列の階差数列は
1,4, 9, 16,
その一般項を6m とすると, bm=n2である。
よって, n≧2のとき
n-1
a = a₁ + 2 k² = 1 + — — (n−1)n(2n-1)
k=1
すなわち
an= 1/2(2n3-3m²+n+6)
初項は α =1であるから,この式はn=1のとき
にも成り立つ。
ゆえに, 一般項は a. = 1 ½
(2n3-3m²+n+6)
an
注意f(n)=2n3-3n2+n+6 とおくと
f(-1) =0であるから, 因数定理 (数学Ⅱ) によ
り, f(n) は n+1 を因数にもつ。
an
=
6
(n+1)(2m²-5n+6) と表してもよい。