Question

ゆる

高校数学です(キ218)
方程式の整数解を全て求める問題なのですがプリントの『互いに素だから』のあとのcだけの式、yだけの式にするときの符号がわかりません。
どなたかよろしくお願いします。

16 [キートレーニングⅠⅡABC Get Ready218] 300
384
41
256
次の方程式の整数解をすべて求めよ。
395
(1) 3x-5y=1
①
(2) 75x+64y=1
①
(1)x=2,y=1は①の整数解の1つである。 (2)ユーグリットの互除法より
すなわち3.2-5.11...②
①-②より3(x-2)-(4-1)=0
よって、3(x-2)=S(y-1... ③
3.5は互いに素であるから、③より、
x-2=+5K(Kは整数)
タ))そのわけ
このとき、y-1+3K
①のすべての整数解は
x=-29.4=34は①の整数解
の1つである。
75.(-29)+64.34=1...②
①-②より、
+のわけ 75(x+29)+64(y-34)=0.
75(x+29)=-64(y-34)=0
3
x=+Sk+2,y=+3k+1 -のわけ 75.64は互いに素だから、
(Kは整数)
x+29=+64K(Kは実数)
よって、y-34=75k
①のすべての整数解は、
x=+64K-29,y=75k+34
(Kは実数)
|1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

(1)
3(x-2)＝5(y-1)　が成り立つので、
3と5が互いに素なら、x-2は必ず5の倍数で、y-1は必ず3の倍数でないといけないわけです。
だから、x-2＝5k、y-1＝3kと置いています。
5kや3kのところはマイナスでもいいんですけど、両方プラスでもいいのなら、プラスのが良くないですか。

(2)
75(x+29)＝-64(y-24)　が成り立つので、
75と64が互いに素なら…の話になるのですが、(1)と違うのは、75と-64なんですわ。
両辺を同じにするためには、x+29がマイナスになるか、y-24がマイナスになるか、どちらかでないと成立しないんです。だから、解答では
x+29=+64k、y-34＝-75k
しています。

…ここまで書いてわかったのですが、(1)で
x-2＝-5k、y-1＝-3k
と書いてバツをくらったのですか？
であるなら、結構厳しい先生ですね。
上で書いたように、マイナスでも一応成立します。
もしテストでバツを食らったのなら、なぜマイナスじゃダメなのか、聞きに行っても良いかもしれません。

ゆる

解説ありがとうございました🙇‍♀️
追加の質問で申し訳ないのですが、(2)は解答ではx+29=+64k、y-34＝-75kなってますが、x+29がマイナスになるか、y-24がマイナスになるか、どちらになればいいのなら、x+29=−64k、y-34＝＋75kでも大丈夫なのですか？

きらうる

大丈夫です。その件も同じです。どちらかがマイナスでどちらかがプラスになっていれば問題ありません。

ゆる

教えていただきありがとうございました🙇‍♀️すっごくわかりやすくて理解できました😊