Question

syunya

練習37の漸化式の問題です。初めの行の各項は正である。のが何故か分かりません。隣の漸化式の形から明らかとありますが、どうゆう時は背理法の説明がいらないのでしょうか。教えてください🙇

よって
in
+2") =22n-1+2"
練習
③37
a1=1, an+1
3an
6an+1
によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
漸化式から、数列{an} の各項は正である。
=
an+1 6an+1
3an の両辺の逆数をとると
(1)(+2)
(ガー
1=2+
1
an+1
3an
1
1=b, とおくと
an
これを変形すると
bn+1=136m+2
bn+1-3=1/2/3(bm-3)
1
また
b1-3= --3=1-3=-2
a1
よって, 数列{bm-3} は初項 -2,公比 1/3 の等比数列であるか
n-1
ら6-3=-2
bn-3-2 (2/13) すなわち bm=3- 3n-1
2 3"-2
=
3n-1
したがって
an
=
1
bn
=
3n-1
3"-2
初項は特別扱い
←>0および漸化式の
形から明らか。
1
6a,+1
An+1
30m
1
11
3am
3 an
ta
+2の解は
a=3
← 3≧3 であるから
3"-2>0
[類 慶応大]

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

漸化式で各項が正なのは感覚的に明らか、
としてよいとする解説がほとんどである……
そういうものだと受け取っておけばよいかと思います

この問題は漸化式の処理が主眼であって、
正である証明が聞きたいわけではないのでしょうね
丁寧な出題者で、そこが聞きたければ、
小問で聞くかと思います
(1)各項が正であることを示せ
(2)一般項を求めよ
という感じです

信用できず、試験場で心配なら、
後からでも証明を挿入しておけばOKです
どちらかと言うと背理法というか数学的帰納法ですかね