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参考・概略です
(a+b+c)⁸ の展開式における a³b⁴c の項の係数
(₈C₃・a³)・(₅C₄・b⁴)・(₁C₁・c¹)
=56a³・5b⁴・1c¹
=280a³b⁴c
【a³b⁴cの係数は、280】
補足
(a+b+c)⁸
=a⁸+8a⁷b+8a⁷c+28a⁶b²+56a⁶bc+28a⁶c²+56a⁵b³+168a⁵b²c+168a⁵bc²+56a⁵c³
+70a⁴b⁴+280a⁴b³c+420a⁴b²c²+280a⁴bc³+70a⁴c⁴
+56a³b⁵+280a³b⁴c+560a³b³c²+560a³b²c³+280a³bc⁴+56a³c⁵
+28a²b⁶+168a²b⁵c+420a²b⁴c²+560a²b³c³+420a²b²c⁴+168a²bc⁵+28a²c⁶
+8ab⁷+56ab⁶c+168ab⁵c²+280ab⁴c³+280ab³c⁴+168ab²c⁵+56abc⁶+8ac⁷
+b⁸+8b⁷c+28b⁶c²+56b⁵c³+70b⁴c⁴+56b³c⁵+28b²c⁶+8bc⁷+c⁸