Question

あいる

数Cの複素数平面です。
星印が付いている(2)(3)を教えて頂きたいです！

4. 複素数αを方程式=1の1でない解とするとき, 次の問いに答えよ。
(1) 1+α+α²+ α + α の値を求めよ。
☆(2) t=a+
t=α+1/2 とするとき,tt-1=0 であることを示せ。
☆(3) cos
4
a
COS 1/3 xの値を求めよ。
5

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

GDO

計算してみました。
上手に計算すると、もっと簡単に計算できると思います。
(2)α⁴+α³+α²+α+1=0…これを式変形で使用する
t=α+1/α
=(α²+1)/α … α²+1=－(α⁴+α³+α)
=－(α⁴+α³+α)/α=－α³－α²－1

t²=(α+1/α)²
=α²+2+1/α² … 1=－(α⁴+α³+α²+α)
=α²+2－(α⁴+α³+α²+α)/α²
=α²+2－α²－α－1－1/α … 1=－(α⁴+α³+α²+α)
=2－α－1+(α⁴+α³+α²+α)/α
=2+α³+α²

t²+t－1=(2+α³+α²)+(－α³－α²－1)－1
　=0

(3)α=(cos2/5π+isin2/5π)
t²+t－1=0なのでt=(－1±√5)/2
t²=(α+1/α)²=α²+2+1/α²
=(cos4/5π+isin4/5π)+2+(cos(-4/5π)+isin(-4/5π))
=2cos4/5π+2
cos4/5π=t²/2－1

t²+t－1=0、t=(－1±√5)/2を使うと、
cos4/5π = t²/2－1=－(t+1)/2=(－1±√5)/4
（cos4/5π<0なので）
cos4/5π = －(1+√5)/4
--------------------------
t=2cos2/5π、t=(－1+√5)/2から求めてもよいです
(cos2/5π>0)

あいる

解説がなかったのですごく助かりました！ありがとうございます！