Question

みみ

3枚目の別解（上側）の説明が分からないのですがt^2/3-（）の計算がどこから出てきたのか分からないので教えて頂きたいです。

多変数関数の最大最小: 対称式で表された関数の最大最小
43 三角形ABCの各辺 AB, BC, CA 上に点P,Q,R を
AP
BQ CR
+
+
=t(0<t<3)
AB BC CA
を満たすようにとる. 三角形ABCの面積をSとするとき, 次の問に
答えよ。
(1)
AP
AB
CR
=x,
=z とおくとき,三角形 APRの面積はx (1-z) S
CA
Saiz
で表されることを示せ.
(2)三角形 PQR の面積の最大値を M (t) とする. M(t) を求めよ.
(3) M(t) の最小値を求めよ.また,そのときの点 P,Q,R は各辺
AB, BC, CA上のどのような点であるか.
J
〔旭川医科大〕

245-43
える.
y'=3(t-1)(t-2) より
12+6t-k=013
(3)xyz = k とおくと,解と係数の関係より フォローアップ 3.)
13-1/212+
の3解が x, y, z である.この方程式をみたす実数解が3個(重解を含む,
13-2/212+6t=k
重複度をこめて3個, フォローアップ 3.) 存在するようなkの範囲を
求めればよい.そこでy=13-2212+6tとy=kのグラフの共有点を考
これより人
-t+
(x+y+2)-(x2+y2+22)
752
S
= { 1-1 +
7.6= | a || b | cos 0
=1⇔
ここで a = (1,1,1), 6 = (x,y,z) とし, a, 万のなすおくと
1/2-1/2(x2+12+22)}s
②
t
1
2
y' +
y=13-2212+6
0
0
2=3(x2+12+22) cos20≦3(x2+12+22)..
=√3√x2+y2+22cos (①より)
+22
+ y²+z²²
x=y=z=
心
+
2
2
y=k
等号成立は
したがって,最大値
のときである. よって, x2 + y2 + 22 の最小値が -
だから②より求める
3
2'
最小値 2
最大値は
06
解答
本解答では,上にあるような技法が使えるように変形して最大値を求める
ことにします。
M(t) =
(1-1+1/2-12-13)S=(1-1+1/3) s
s
M(t) =
S
+
(3)
2+3+12
(1)
AAPR
2
AP. AR - sin A
S
4
だからM(t) の最小値は で,このとき かつより
△ABC
A
1
だからP,Q,R は各辺の中点のときである.
AB AC - sin A
x
1-z
x=y=z=
2
AP AR
R
P
=x(1-z)
AB AC
△APR=x(1-z)S
☐
B
C
BQ
Q
(フォローアップ
1. 本間は一文字消去の方針でも解答可能です。 まずzを消去して x で平
方完成し,最後に y で平方完成を行います。
(2)
=yとおくと条件より
別解
BC
0=59
(*) = {1 -t + xy + (x + y)z}S
(①より)
x+y+z=t (0 <t <3)
①
となる.
また, (1) と同様にして
だから
A
△BPQ=y(1-x)S, ACQR=z(1-y)S
△PQRS-x(1-2)S-y(1-x)S-z(1-y)S
={1-(x +y + 2) + (xy + yz + zx)}S
={1 -t + (xy+ yz +zx)}S
= {1 - t + xy + (x + y)(t-x-y)}S
={-x2+(t-y)x-y2+ty-t+1}S
- {-(x-1)²-2²+1+1+1}
4
-{(x-2)² - (-)²++
=
よって, x=
.........(*)
M(t) =
t-y
2
y=1/x=y=1/2のとき最大値
Sをとる.
=(i+1)と
S
S

246 43
2. このような対称式で表された関数が最大最小になるのは,すべての変数
が等しいときに起こることが多いようです. 等号が成り立つような x, y, z
1つでも見つけたいときには, x=y=z となるような値であたりをつ
けてもよいでしょう.この知識と同次式にするという工夫を用いた解法で、
(*) 以降を考えてみます。
別解 (*)より①のもとで xy + yz + zx の最大値を求めればよい。
のとき最大だろうから,これを代入した
[おそらく x=y=z =
最大値であろう]
200
1/32-(xy+y+zx)=1/2(x+y+z)2(xy+y+zx)
が
=1/1/(x2+12+22-xy-yz-zx)
=
1/(x-1)+(y-z)2+(-x)2}≧0
... xy + yz + zx≦
3
大量
= (M
ここで等号が成り立つのはx=y=z=1/3のときだから,xy + yz + zx
の最大値は 1/2 である.
(以下略)
3.(2)の② において x 2 + y2 + 22 の最小値が求まれば,求めたい最大値
が求まります。 そこで2の考え方を利用すると, x=y=z=
-のとき
最小値であろうから次のような解法も考えられます。 式変形のイメージは
x2+12+22(x-1/3)2 +(-1/3)2 +(2-1/23)2 +...と平方完成しよ
うとします.
2
別解
x-
+(-1/2)+(2-1)2
(-)+(-)+(-)*
x2
2t
2
2
1-1}=(*)
+z
3
犬
+1-1)=
= x² + y² + z² - 21 (x + y + z) + 1) +5)=
3
3
であり,x+y+z=t を右辺に用いて変形すると
2
2
2
*²+²+²= (x-4)² + (-)² + (-4)² + 3
t
したがって,x2+y^2 + 22はx=y=z= 1/3のとき最小値 1/2
+2
をとる.
(以下略)
(1)M

Answer 1

和

xy+yz+zxの最大値がt²/3であると予想し、
それを示すという文脈です
つまりt²/3≧xy+yz+zxを示します
すなわちt²/3 - (xy+yz+zx) ≧0を示します

みみ

t^2/3だと言うのはどこから予想出来たのですか？

和

3枚目の一番上の段落で教えてくれていることを
念頭におけば予想がつきます