Question

華

数Iの問題です。解説を見ても意味がわからないので教えていただきたいです。あと、この:はなんですか！？！？授業で飛ばされている部分なのですがワークにはあるので助けて欲しいです🆘

同値
43 a, b は実数とする。 次の2つの条件 g は同値であること
を証明せよ。
p : α>1 かつ 6>1
g:a+b>2 かつ (4-1) (6-1)>0
ポイント2
とgが同値
示す。
gpがともに真であることを
g

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

「：」は、pの条件はa＞1かつb＞1ですよ～って感じの記号だと思ってください。大した意味はありません。

ポイントにも書かれているように、「同値」とはp→qもq→pもともに真であることを証明しなければいけません。

pの条件である、a＞1かつb＞1
この条件のもとで、a-1＞0かつb-1＞0…①
という式変形ができます。
aもbも1より大きければ、a+bは1+1よりも大きいことは必ず言えますよね。これを①の式の左辺同士を足すことで証明できます。
(a-1)+(b-1)＞0
が言えるので、
a+b＞2
が言えます。
さらに、(a-1)(b-1)というのは、掛け算されています。a-1もb-1も正なので、正×正は正になるに決まっています。だから、
(a-1)(b-1)＞0
も言えるので、p→q　が真であることが証明できました。

次に、q→pを証明します。
qは、a+b＞2　かつ　(a-1)(b-1)＞0
であることが言えています。
(a-1)(b-1)＞0からは、かけて正になるためには、正×正か負×負のどちらかになります。
つまり、a-1＞0とb-1＞0　か　a-1＜0とb-1＜0のどちらかに絞れます。
ですが、a-1＜0とb-1＜0ではa+b＞2が成り立ちませんので、qから言える条件はa-1＞0とb-1＞0であるので、a＞1かつb>1が言えるということで、証明ができました。