Question

みえ

高2数学、恒等式です。
一個目の写真の問題のこたえが2個目の写真です。
赤線のところなんですが、なぜcx+dとおくんでしょうか？
また、商が一次式になる、とありますが、なぜ商が一次式になるとわかるんでしょうか、、。
教えてください🙇‍♀️

*30
a b は定数とする。 x についての多項式 2x3+ax2+bx+2 を x2 -x+1で
割ると, 余りがx+3となるように, a, bの値を定めよ。 また,そのときの
商を求めよ。

30 商は1次式になるから cx+d とおくと
2x+ax2+bx+2
=(x2-x+1)(cx +d) + (x +3)
右辺をxについて整理すると
2x+ax2+bx+2
=cx3+(-c+d)x2+(c-d+1)x+ ( d+3)
両辺の同じ次数の項の係数を比較して
2=c,
a=-c+d,
b=c-d+1,
2=d+3
これを解いて
=-3,b=4, c=2, d=-1
よって
a=-3, b=4, 商は 2x-1
参考は1次式になり, 最も高い次数の項の係
数は2であるから, 2x+c とおいてもよい。
このとき
2x+ax2+bx+2
=(x-x+1)(2x+c)+(x+3)
右辺をxについて整理すると
2x+ax2+bx+2
=2x3+(c-2)x2+(3-c)x+(c+3)
両辺の同じ次数の項の係数を比較して
a=c-2,b=3-c, 2=c+3+3+
これを解いて
別解
a=-3,b=4,c=-1
2x+(a+2)
0 =
4+ (5)
2
x2-x+1)2x3+ax2+bx+
2x3 - 2x2 + 2x
(a+2)x2+(b-2x+2
(a+2)x2-(a+ 2)x+ ( a +2)
- (a+b)x-a
2x3+ax2+bx+2 を x2 -x+1で割ると
は 2x+a+2
余りは (a+b)x-a
したがって、次のxについての恒等式が成り立
つ。
x+3= (a+b)x-a
両辺の同じ次数の項の係数を比較して
1=a+b, 3 = -a
これを解いて
a=-3, b=4
よって a=-3,b=4, 商は2x-1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

さつき

商が一次式なのは、始めの多項式が三次式で、割る式が二次式だからです。だから商をcx+dと置くことができます。そのときの立式は、
割る式×商+あまり＝割られる式
をイメージしてみてください。

みえ

理解できました、ありがとうございます！