Question

ミッフィー

なぜx^2-2x+3の式でx=1＋√2iのとき0になるとわかるのですか

基本
例題 59 高次式の値
|x=1+√2iのとき, 次の式の値を求めよ。
指針
P(x)=x^-4x3+2x2+6x-7
00000
・基本8
x=1+√2iをそのまま代入すると,計算が大変であるから,次の手順①,②で考える。
1 根号と虚数単位iをなくす。
①
x=1+√2iから
2 求める式の次数を下げる。
x-1=√2i
← 右辺は根号とiを含むものだけに。
この両辺を2乗すると (x-1)2-2
←
- 根号とえが消える。
(x-1) =-2を整理すると
x²-2x+3=0
次数を下げ
る
P (x) すなわち x-4x+2x2+6x-7をx²-2x+3で割ったときの
商Q(x), 余り R(x) を求めると,次の等式 (恒等式) が導かれる。
P(x)=(x²-2x+3)Q(x)+R(x)
を起動 Lx=1+√2iのとき=0L1次以下
よって, P(1+√2i)=0Q(1+√2i)+R(1+√2i) となり,計算が簡単になる。
CHART 高次式の値 次数を下げる
188
99

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

指針の１で、x²-2x+3＝0の解の1つが、x＝1+√2iであることがわかりました。
ということは、P(x)＝(x²-2x+3)Q(x)+R(x)にx＝1+√2iを代入すると、(x²-2x+3)は0になり、
P(1+√2i)＝0・Q(1+√2i)+R(1+√2i)
となるわけです。