数学
高校生
解決済み

この問題って組み合わせを地道に数えて行くしかないですか?工夫と仕方とかありますか?

第6章 ポイント 演習問題 91 整数をつくるとき,最高位に0がきてはいけない 同時に起こることがないいくつかの場合に分けたと き、全体の場合の数はそれらの和になる 0, 1,2,3, 4とかかれたカードが, は1枚, それ以外は 2枚ずつある. これらのカードから3枚を選び, それらを並べるこ とによって3桁の整数をつくる.ただし, 同じ数字のカードは区別 がつかないとする. (1) Oを含まないものはいくつできるか. (2)0を含むものはいくつできるか&I= (3)全部でいくつの整数ができるか.
(1,8, (1, 5, 19)の14 通 91 (1) 1, 2, 3, 4 各2枚から3枚を選 ぶ方法は, (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 1, 4), (1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1,3,3), (1,3, 4), (1, 4, 4), (2. 2, 3), (2, 2, 4), (2, 3, 3). (2, 3, 4), (2, 4, 4), (3, 3, 4). (3, 4, 4) だけあり、 すべて異なる数字のとき6個の整数が, 2つ同じ数字のとき3個の整数がつく れるので 6×4+3×12=24+36=60 (個)( (2)0を1個使うので, (1) と同様に考え ると (0, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 1, 3), (0, 1, 4), (0,2,2), (0,2,3), (0, 2, 4), (0, 3, 3), (0, 3, 4), (0,4,4) だけ数字の組合せがあり、 0 以外が異なる数字のとき, 3!-2=4 (個) の整数が、 0 以外が同じ数字のとき, ;()()} 1つずつ選んでつく 0 {(1/2)+(1/2)+(12/ {(1)+(4)+( 13 15 == X 65 8 9 24 94 n! rnCr=r(n-r)! (n-1)! =n(n-r)!(x-1)! (n-1) =n° {(n-1)-(n-1) =nn-1Cr-1 95 (1) 両端の文字の入り 他の4文字の並べ方 で, 6×4!=144 (個) (2) P, E, Iをひとま 全体は4文字と考えら 1 3
場合の数

回答

✨ ベストアンサー ✨

ある程度組合せを考えないと、残念ながらできないんです。
なぜなら、同じ数字のカードが2枚しかないのに3枚選ぶので、1・2枚目を選んだときに同じ数字の場合は、
3枚目のその数字が無くなってしまいます。うまく条件を考えて数えていかないといけないのです。
参考に、以下のように少し工夫を考えてみました。

まずは、理解のために、同じ番号のカードが3枚ずつあった場合の(1)を考えてみましょう。
これは簡単ですね。
 1桁目、2桁目、3桁目
 4通り×4通り×4通り=64通り

次に、同じ番号のカードが2枚の場合を考えてみると(質問の(1)と同じ)
 1桁目、2桁目で同じ数字が選ばれると、3桁目は残りの数字の3通りになってしまい、
 11?、22?、33?、44?同じ数字が選ばれる(4通りある)と、3桁目は3通りとなます。
 1桁目、2桁目で同じ数字の場合は、4×3=12通り

 それでは、1桁目、2桁目で違う数字の場合は、どうなっているのか。
 1桁目は何でもよい、2桁目は1桁目以外、3桁目は何でもよいの組合せになり、
 1桁目、2桁目で違う数字の場合は、4×3×4=48通り

合わせると、12+48=60通りです。

(2)は1桁目が、0ではいけない(2桁になってしまう)ことを考える必要もあり、
また少し場合分けが必要になるのです。

GDO

やっていることは全く同じで、表示の仕方が違う程度です。

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回答

それが無難で正当な解き方だと思います
数え上げるのが基本です

その解答はかなり工夫されています
順列を求める際、まず組合せを挙げて、
それぞれの組合せに対応する順列の個数を掛ける、
という手法はそれなりのものです

(2)の3!-2も初心者にはサッとは書けません

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