Question

ヨンジュン🦊🌱

(1)と(2)の問題の等号成立ががよく分かりません

51
本 例題 29
不等式の証明 (絶対値と不等式)
00000
この不等式を証明せよ。
la+0|=|a|+|0|
(2)|a|-|0|sla-61
p.42 基本事項 4. 基本 28
■ART & THINKING
問題 1 結果を使う
[2] 方法をまねる
絶対値を含むので、このままでは差をとって考えにくい。 AA' を利用すると、絶
計値の処理が容易になる。 よって、 平方の差を作ればよい。
証明したい不等式の左辺は負の場合もあるから, 平方の差を作る方針は手間がかかり
-うである (別解 参照)。 そこで, 不等式を変形すると
|a|≦la-6|+|6| - (1) と似た形になることに着目。
■の方針で考えられそうだが, どのように文字をおき換えると (1) を利用できるだろうか?
(|a|+|6|2-|a+b2=(|a|2+2|a||6|+|6|2)-(a+b)2
って
=a2+2|ab|+62-(a² +2ab+62)
=2(labl-ab)≧0
(*)
la+6≦(|a|+|6|)2
in A≧0 のとき
-|A|≦A=|A|
A<0 のとき
-|A|=A<|A|
+6|≧0, |a|+|6|≧0 であるから
la+6|≦|a|+|6|
-lal≦a≦lal, -|6|≦6|6| であるから
々を加えて -(|a|+|6|)≦a+b≦|a|+|6|
|a+6|≦|a|+|6|
■+|6|≧0 であるから
[_1)の不等式の文字α を a-b におき換えて
| (a-b)+6|≦la-6|+|6|
って lal≦la-b|+|6|
ゆえに |a|-|6|≦la-6|
[1] |a|-|6|<0 すなわち |a|<|6| のとき
左辺) < 0, (右辺) > 0 であるから不等式は成り立つ。
|a|-6|≧0 すなわち |a|≧|6| のとき
la-b-(al-16)²=(a-b)²-(a²-2|ab|+b²)
=2(-ab+lab)0
よって (a-ba-b12
1-161≧014-0≧0 であるから
|a|-|6|≦|a-6|
であるから,一般に
-ASASA
更にこれから
JAI-A≧0 [A+A≧0
c≧0 のとき
-c≤x≤c\x\≤c
x≤-c, c≤x
1xc
②の方針 |a|-|0|が
の場合も考えられる
で、 平方の差を作るに
場合分けが必要。
int 等号成立条件
(1)は(*) から, lab|=
すなわち、 αb0 のと
よって、 (2) は (α-b)
ゆえに (a-b≧0 かつ
または (a-b0 かつ
すなわち a b ≧0 ま
a≦b0 のとき。
CTICE 29
[hs]alt[6] を利用して、次の不等式を証明せよ。
(?) |-cl≦la-6/+16-cl

-6) 2
in A≧0のとき
+62)
-|A|SA=|A|
A <0 のとき
-IAL=AKIAI
であるから,一般に
|+|6|
-6
つ。
52)
-|A|≦AS|A|
更に、これから
A-A≥0, |A|+A≥0
← c≧0 のとき
-c≦x≦c⇔ xlsc
x≤-c, c≤x
<xc
←②の方針。 |a|-|6|が負
の場合も考えられるの
で, 平方の差を作るには
場合分けが必要。
inf. 等号成立条件
(1) は (*) から, lab=ab,
すなわち, ab≧0 のとき。
よって (2) は (a-b)b≧0
ゆえに (a-b≧0 かつ≧0)
または (a-b≦0 かつ b≦0)
すなわち a b ≧0 または
a≦b≦0 のとき。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

(1)ab<0のとき|ab|=-abとなるので|ab|-ab=-2abとなるので等号成立条件を満たしません。
ab=0のときは|ab|=0
ab>0のときは|ab|=abとなるので、|ab|-ab=0となります。
(2)はこれにa=a-bを代入しているだけです