Question

s

2.3h→0だからf'(a)🟰0は誤り

→ここが分かりません。解説お願いします。

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補充 例題 179 関数の極限値と微分係数
[湘南工科大] (イ) lim
x→-3
x2+x-6
x2-x-12
(1)次の極限値を求めよ。
x3+8
f(a+3h)-f(a) を f' (a) で表せ。
f'(α)
(ア) lim
x-2x+2
(2) 極限値 lim
h→0
h
[関西大)
p.266 基本事項 2
CHART & SOLUTION
関数の極限値 limf(x)
xa
基本はxにαを代入となるときは約分
lim
k-0
f(a+k)-f(a)=f(a)も利用できる
k
(1) そのままに-2 を代入すると, 分母分子ともに0になる。 よって、分母・分子
とも x+2 を因数にもつ (因数定理) ので,x+2で約分してから代入する。(イ)も同様。
(2)0 のとき 3h0 だからといって (与式)=f(α) は誤り!
3h=kとおいて,微分係数の定義を利用する。
A

(2)3h=k とおくと, ん → 0 のときん→0 であるから
f(a+3h)-f(a) f(a+k)-f(a)
lim
=lim
h→0
h
k-0
k
3
f(a+k)-f(a)
= lim 3.-
k-0
f(a+k)-f(a)
=3lim
k
k-0
k
=3f'(a)
慣れてきたらおき換え
をせずに
(与式)
=lim 3.
014
f(a+3h)-fla
=3f'(a)
としてよい。
3h

Answer 1

exod

与式=f'(a)は謝り のところでしょうか？

微分係数の定義は

lim[h→0]{f(a+h)-f(a)} / {(a+h-a)}=f'(a)

なので、

lim[h→0]{f(a+3h)-f(a)} / {(a+3h-a)}=f'(a)

が成り立ちます。

lim[h→0]{f(a+3h)-f(a)} / {(a+h-a)}の場合、
分母が分子に対応しておらず、{f(a+3h)-f(a)} / {(a+h-a)}は平均変化率になっていません。

なので、分母を分子に対応させるため、
3{f(a+3h)-f(a)} / {(a+3h-a)}とする必要があります。

よって、
lim[h→0] 3{f(a+3h)-f(a)} / {(a+3h-a)}
= lim[h→0] 3{f(a+3h)-f(a)} / 3h
=3f'(a)

です。