Question

α

数IIの不等式の証明の問題です。
黄色マーカー部分が分からないのですが、
(1)は、平方完成のやり方(特に今回のような分数が出てきた時)と、等号成立がどの場合か分からないので、教えてほしいです。
(2)は(1)と同じく、等号成立の求め方が分からないので、教えてください。
よろしくお願いします。

P
+c
から各
を考える。
【例題
169
不等式の証明 [2]
[頻出]
次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成り立つのはどのようなときか。
(1)x2+y≧xy+x+y-1
(2)a0b>0, a+b=1 のとき ax2+by2≧ (ax-by)2
(1) 目標の言い換え
条件式がない
(左辺) (右辺) ≧0を示す
) 2 ≥ 0 ( )+(
Action» 2次の不等式の証明は, (左辺) (右辺) を平方完成せよ
不等式の等号成立条件は,式変形の最後の式で考える。
2 0 をつくる。
思考プロセス
符号を調べ
右辺を因数
大数の符号を
等号成立
... = (
)2 ≥ 0
... = (
)²+(
)2 ≥ 0
) ≥0
= 0 のとき
=0 かつ
= 0 のとき
= 0 または
式と証明
(左辺 (右辺)=x2+y2-xy-x-y+1
= x2 -(y+1)x + y - y + 1
= (x − x+1)²= (x + 1)² + 1
4
+y2-y+1
=(x+1)+33-6y+3+
2
y+1
4
= (x-±1)² + 3(-1)² 20
4
= 0 のとき
-
(左辺) (右辺) を xにつ
いて整理し, 平方完成す
る。
残りの項を,yについて
整理し,平方完成する。
つのは
よって
x2+y2 ≧xy+x+y-1
はx-y=
y+1
= 6 または
これは x=
かつ y = 1
である。
証明するだ
すなわち, x=v=1のとき等号成立。
A, B が実数のとき
A' + B2 ≧ 0
の等号が成立するのは,
A=B=0 のときである。
(2)a+6=1 より
b=1-a
B<C
する
a > 0, 6>0 であるから
0<a<1
C
= Cad = 100
(左辺) (右辺)=ax2+by2-(ax-by)2
=α(1-a)x2+2abxy+6(1-b)ye
=α(1-a)x2+2a (1-a)xy+ (1-a)aye
= ax + by - ax2+2abxy beye io
2000= =α(1-a)(x2+2xy + y2 )
b2 = a(1-a)(x + y)²
0<a<1より, α(1-α) > 0 であるから
a(1-a)(x+y)² ≥0
よって ax2+by2 ≧ (ax-by)2
これは,x=-yのとき等号成立。
となる実
対称性を維持して
a+b=1より
1-a=6,1-b=a
を代入し, ab(x + y) と
変形してもよい。
|α(1-4) (x+y)2において
α(1-α)>0より
x+y=0のとき等号が
成立する。
きか

不等式の証明 不等式 証明 等号

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

x²-(y+1)x+y²-y+1
を平方完成するために、余分なものを追加します。
＝x²-2(y+1)x・1/2+y²-y+1
＝x²-2・(y+1)/2・x+{(y+1)/2}²-{(y+1)/2}²+y²-y+1
＝{x-(y+1)/2}²-(y+1)²/4+y²-y+1
＝{x-(y+1)/2)}²-(y²+2y+1)/4+(4y²-4y+4)/4
＝{x-(y+1)/2)}²+(3y²-6y+3)/4
＝{x-(y+1)/2)}²+3(y²-2y+1)/4
＝{x-(y+1)/2)}²+3/4・(y-1)²

等号成立は、2乗の中身がともに0になれば＝0になりますので、
x-(y+1)/2=0…①、y-1=0…②
②からy＝0であり、①に代入してx=0が出てくるわけです

(2)
下から3行目のa(1－a)(x+y)²≧0ｔ、4行目のa(1-a)＞0から
(x+y)²＝0だったら、＝0が成立するので、
x+y=0　→　x=-yのときに等号成立するわけです。

α

ありがとうございました。