Question

なほ

（2）の問題で、四角で囲ってある部分がよく分かりません…

12
よって, 求める余りは,
nを正の整数として、次の式の値を求めよ.
(1) 2ヶCo+ 27C2+2ヶCa+......+2ヶC2n
(2) Co-C2+C22-„C3+..+(-1)".n,C,2
<考え方> (1)(1+x) の展開式において, x=1 とおいた場合と x=-1 とおいた場合を考え
る.
((2)(1+x)*(1-x)" の展開式におけるx" の係数を考える
(1) (1+x)²=2n Co+2n C₁x +2nC₂x²+...+2nC2nx²n50=10
......1
左回り①で,x=1 とおくと,
(1+1)21=2nCo+2% 1+22+......+ 24 C2n
したがって,
2nCo+2nC1+2nC2+......+2C2=2 ......
②
①で,x=-1 とおくと,
(1−1)2"=2nCo+27C1(-1)+2,C2(-1)^+......
したがって,
=2ヶCo-2nC1+2 C2
25 Co- 2ヶC1+24 C2
②+③より,
...... ③
+2ヶC2n=0
=22n
+22ヶC2
2nCo+2nC2+27C4+......+2ヶC2n==22n-1
(a+b)"="Coa"+"Cia"-'b+"Cza"-262
22 Co+22/C2+22/C+
よって,両辺を2で割って
(2) 二項定理
0SXT+8X28+8X18+IXI=
において, a=1,b=x とおくと,
(1+x)"=, Co+"Cx+2C2x2+,C3x3
......+2% 2m (-1)'"(-1)^'={(-1)^}"=1
2n
+ 2月C2月
また, a=1,b=-x とおくと,
THY LOSY
TANO
Cy=Cn-r であるから,
(1+x)*= "C"+"C-1x+2Cn_2x2+Cm-3x3
JELLIE
+......+nC„b"
XOD. MO
S=x+p+4=1
+……+,C,x"
spor
+......+nCox" ...... ①
#OJTAR
1=p 8=1=0
=p1=x=q
となり、不
alt 101N0
101S+SA+1=
ECE-

(1-x)"=" Co-Cix + C2x2-„C3x3
+......+(-1)*.. Cx" ...... ②
+…+(−1)”
(1+x)" (1-x)" の展開式におけるx" の係数は, ①
②より,
nCo-nCi'+nC22-„C32+..+(-1)" nCm2
一方, (1+x)" (1-x)"=(1-x2)" であり,
(1−x2)"="Co-nCix2+nC2x^-nC3x6
したがって, kを正の整数として, 十字
n=2k-1 のとき, x” の係数は0
n=2k のとき, x” の係数は (-1)/nCk
環境 すなわち,(-1) C
20
2
よって, ③ から,
n が奇数のとき,
+......+(-1) ". Cx2n
第1章 式と計算 23 Step L
lasero
末問
...... ③
nCo-nCi2+„C22-nC32+......+(-1)",C,²2=0
nが偶数のとき,
nCo-nCi2+„C22-„C3+..+(-1)",C,2
+ 3) + 8(x²-x) + c(2²-120_)
力による解決
A"B" = (AB)")
1-x8+²x=9+%0+%s (0)
1+x8=(8+06+($+*), (3)
n
n=2k のとき, k=
2
n
について整理すると､(1) 20170
e
of

二項定理