Question

まっちゃ

数学的帰納法の問題で、照明の時の式の変形が分かりません…。どなたかマーカー部分の変形の仕方を教えて欲しいです🙇

基本例題 55 等式の証明
nが自然数のとき, 数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ。
.. 1
1 ·1! +2・2!+･.....+n.n!=(n+1)!-1
….....
①①
[類 早稲田大]
p.498 基本事項 1
指針 数学的帰納法による証明は,前ページの例のように次の手順で示す。
[1] n=1のときを証明。
←出発点
[2] n=kのときに成り立つという仮定のもとで.
n=k+1のときも成り立つことを証明。
[1], [2] から, すべての自然数nで成り立つ。
←まとめ
[2] においては,n=kのとき ① が成り立つと仮定した等式を使って, ① のn=k+1
のときの左辺1・1! + 2.2 + ······+kk!+(k+1)(k+1)! が、 右辺{(k+1)+1}!−1に
等しくなることを示す。
また、結論を忘れずに書くこと。

<
解答
[1] n=1のとき
(左辺) = 1.1!=1, (右辺)=(1+1)!−1=1
よって, ① は成り立つ。
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると
1・1!+2・2! + ······+k•k!= (k+1)!-1
n=k+1のときを考えると, ② から
......
1.1!+2.2!++ k·k! +(k+1).(k+1)!
"2
=(k+1)!-1+k+1)(k+1)!
={1+(k+1)}(k+1)! -1
=(k+2)·(k+1)!—1=(k+2)!−1
注意
姜
の決まり文句。
ちんと書くよう
kは自然数(
<①でn=kと
<n=k+10と
左辺。
i
={(k+1)+1}!-1
よって,n=k+1 のときにも ① は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。 結論を書くこ
◄n=k+1
右辺。
2.

数学的帰納法 漸化式 数b

Answer 1

そうま

これでどうでしょうか？

まっちゃ

ありがとうございます🙌

Answer 2

BaSO4

上の式=1×(k+1)!+(k+1)×(k+1)!-1
=｛1+(k+1)｝×(k+1)!-1

ac+bc-1=(a+b)×c-1
これと同じことをしてます。

まっちゃ

ありがとうございます！🙌

BaSO4

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