Question

りんご

この問題の（3）の解き方が分かりません。
答えは2+2√10になるそうです。
詳しく教えていただけると嬉しいです。

※図に色々と書き込んでいて見づらくなってます…。
すみません！

23 右の図で、点Oは原点, 曲線ℓは関数y=-x2
のグラフを表している。
3点A,B,Cは曲線ℓ上にあり,点Aの座標
は-4, 点Bのx座標は2, 点Cの座標は6で
ある｡
I
曲線ℓ上にあり 座標がt (t> 0) である点をP
とする。
次の各問いに答えよ。
sbs
(1) 図1において, 点Pが点Bから点Cまで動く場合を考える。
2点A,Pを通る直線の式をy=ax+b と表すとき, ものとる値の範囲を不等号を使
って、
図2
で表せ。
(2) 右の図2は、図1において, 点Pを通り軸
に平行な直線を引き, 点Aと点Cを結んででき
る線分 ACとの交点を Q, æ軸との交点をRと
した場合を表している。
点Pが線分 QRの中点となるとき, 点Pの座標
を求めよ。
図 1
(3) 右の図3は、図1において, 点と点Aを
結び, 点Pを通り2点A, Oを通る直線に平
行な直線と軸との交点をSとした場合を表し
ている。
点と点B, 点と点C 点A と点 B, 点 A
と点C, 点A と点S をそれぞれ結んだ場合を考
える｡
△AOBの面積と△AOCの面積の和がAOS
の面積の2倍となるとき, t の値を求めよ。
ただし,答えだけでなく、 答えを求める過程が
分かるように、 途中の式や計算なども書け。
A
図3
se
64.4
A
は二x+?
y
(-4.4))
A
10.414t)
B
y
C
P
B
OR
J=₂
y = 12x16
y=(6.9)
2c
l
(P(+, 4+²)
12.1)
8
(2.1)
B
x
2= = x(²
l
PC(6.9)
P(t. t²)
X

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

全部辺AOが共通しているので、まあ等積変形だろうと考えます。問題文の言っていることを式にすると
2AOS=(AOB+AOC)なので、それぞれ求めてやればtの方程式ができると思われます。

三角形AOSの面積は、AOの傾き-1からSのy座標がt²/4 +tであると求めることができるので、底辺をy軸（OS）とみなすことで求まります。どうせあとで2倍するので÷2はしなくてよく、4×(t²/4 +t)が2AOSと求まります。

三角形AOBや三角形AOCはy軸を底辺と見ても良いですが、ABやACの切片を求める計算が煩雑になると思うので、点B，点Cの各々からAOに平行になるように線を引いて（交点をB'とC'とする）、等積変形を施して面積の等しい三角形AOB'とAOC'を作ることで計算します。
点(2,1)を通り傾き-1の直線と、点(6,9)を通り傾き-1の直線、それぞれy軸との交点は(0,3)と(0,15)になるので、面積は3×4÷2と15×4÷2になります。こいつらを足すのでAOB+AOCの値は、(15+3)×4÷2になります。

よって、
4×(t²/4 +t)=18×4÷2
左辺展開して1/4を消すと
t²+4t=9×4
(t+2)²=40
t=±2√10-2
tは正なので
t=2√10-2と求まります。

ブドウくん

書いてくれている答えと符号が違いますが、合っていると思います。

りんご

あ。すみません！答えに-つけるの忘れてました…。ブドウくんさんので合ってます！

りんご

三角形AOBと三角形AOCを求める時にy軸を底辺として見ていて、計算ミスをしていたために間違えていました。等積変形使うという発想がなかったのですが、分かりやすく教えていただいたため、理解できました。
ありがとうございました！！