第3章 図形と方程式
2つの円の交点を通る図形
テーマ 55 2つの円の交点を通る図形
2つの円x2+y²-6x4y+12=0 ･･･ ①, x2+y²-2x-2y=0
について、次の問いに答えよ。
(1) 2つの円 ①. ② は2点で交わることを示せ。
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(2) 2つの円①, ② の2つの交点と点 (4, 0) を通る円の方程式を求めよ。
(1)半径がそれぞれR, (R>r) である2つの円の中心間の距離をdとすると
2つの円が2点で交わるR-r<d<R+r
(2) 方程式 (x2+y²-6x-4y+12)+k(x+y-2x-2y)=0の表す図形は
k-1のとき2つの円の2つの交点を通る円
k=-1のとき 2つの円の2つの交点を通る直線
解答 (1) ① を変形すると (x-3)+(y-2)=1
よって, 円 ① の中心は点 (3, 2), 半径は
1である。
(x-1)+(y-1)=2
② を変形すると
よって, 円 ② の中心は点 (1, 1), 半径は
√2である。
2つの円 ①,②の中心間の距離は
d=√(3-1)+(2-1)'=√5
② 半径√2
図形 ③点 (40) を通るとき
これを③に代入して整理すると
これが求める円の方程式である。
応用
2
(1,1)
① 半径1
(3,2)
DALLA
ゆえに √2-1<d<√2+1
したがって、 2つの円 ①, ② は2点で交わる。 終
(2) kを定数として, 方程式
(x2+y²-6x-4y+12)+k(x2+y²-2x-2y)=0 ③ を考える。
(1) により、2つの円 ①,②は2点で交わり、③は2つの円 ①,②の
2つの交点を通る図形を表す。
1
4+8k=0> よって k=--
x2+y²-10x-6y+24= 0
2
①, x2+y2=4 (2
123
2つの円x2+y²-8x-4y+4=0
ついて,次の問いに答えよ。
2つの円 ①,②は2点で交わることを示せ。
2つの円①② の2つの交点と点 (1,1)を通る円の方程式を求めよ。
2つの円 ①,②の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ｡
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基本と演習テーマ 数学ⅡI
122 (1) 円+y=18は中
心が原点, 半径が3√2の
円である。
2つの円の中心間の距離d
は d=√12+(-7)
=√50=5√2
2つの円が外接するとき 求める円の半径を
5√2=r+3√2
とすると
これを解くと=2√2
よって, 求める円の方程式は
(x-1)²+(y-(-7))^²=(√2)^
すなわち (x-1)²+(y+7)²=8
(2) x2+y²-12.x +4y+390 を変形すると
(x-6)^+(y+2)=1
110
......
114 これは,中心が点
-7
123 (1) ① を変形すると
(x-4)²+(y-2)²
44)
(x-3)²+(y-2)² = 6²
すなわち (x-3)^+(y-2)^²=36
(6, -2), 半径が1の円
を表す。(
2つの円の中心間の距離
dは
前
d=√(3-6)^2+(2-(-2))=√25=5
2つの円が内接するとき 求める円の半径を
とすると, 図より 5=y-1
これを解くとv=6
よって, 求める円の方程式は
y1
2
O
=16
よって, 円 ① の中 ② 半径2
心は点 (4,2), 半径
は4である。
円 ② の中心は
点 (0, 0), 半径は2である。
円 ①,②の中心間の距離は
+
x
-2
6
O
① 半径4
d. (4,2)
x
形 ③点 (1,1)を通るとき
月①,②の2つの交点を図形を表
-6-2k=0
x2+y2+4x+2y-80
これが求める円の方程式である。
(3) ③ において, k=1 とすると
-8x-4y+8=
2x+y20
124 (1) 求める軌跡は,
直線y=1からの距離
が2で､ 直線y=1と
平行な2直線である。
よって
直線y=3,
直線y=-1
(2) 求める軌跡は,線分
ABの垂直二等分線で
ある。
よって
pold=√42+22=√2=2√5
4−2<d<4+2であるから, 円 ①,②は2点
で交わる。
(2) kを定数として, 方程式
よってk=3
これを③に代入して整理すると
(x2+y2-8x-4y+4)+k(x²+y²-4) = 0
...... (3)
を考える。
(1) により, 円 ①, ② は2点で交わり, ③は
すなわち
これが求める直線の方程式である。
直線 x=2
(3) 求める軌跡は,
*+(y-2)=16
点 (1,2)を中心とする
半径3の円である
P
(2) AP¹=x-(-3)=
BP=(x-3)² +
AP' + BP=20で
(x+3)²+y
=
整理すると
したがって、点
逆に、この円上
て, AP3 + BP-
よって 求め
原点を
(3) A.P'=x-
BP2=(x-
AP2-BP2-
0
AB
(1,2)
(x+
整理すると
したがって
逆にこ
いて, A
よって,
126PC
とする。
Pに関す
AE
125 点Pの座標を(x,y)とする
(1) AP2=(x-2)^2+y2, BP2=x2+(y-6°
AP=BP より, AP2=BP2であるから
(x-2)2+y2=x2+(y-6)²2
これよ
すなわ
AP2=
BP2=
B
=
す
し
あ
3
整理すると
x-3y+8=0
したがって, 点Pは直線x-3y+8= 0 上にあ
る。
逆に,この直線上のすべての点P(x,y) につ
いて, AP BP が成り立つ。
よって, 求める軌跡は 直線x-3y+8=1|
