Question

きょん

統計検定準1級2021年6月の問6です。
[1]の解説で、1行目から2行目に変形できるのはなぜでしょうか。
直感的には分からなくもないのですが計算過程が知りたいです。

問6 2つのグループからのデータを判別する代表的な方法に,フィッシャーの線形判
別がある。 グループ 1, グループ2の2つのグループから2次元データを収集し
たものとする。それぞれの標本サイズを ni, 72 とし, データを { 1,T2,...,Zn,},
ny
1.
{¥1,92,.., Yng} とおく。 また, それぞれのグループの平均ベクトルを=-
n1
8
y=-
722
1
n
72
i=1
722
i=1
とおく。 ただし,n=n+n2 である。
Yi とおく。 さらに, データ全体を {Z1,Z2,..., Zn}, 平均ベクトルをえ=
とおき,さらに
〔1〕 各グループの分散共分散行列 S1, S2 とデータ全体の分散共分散行列 S をそれ
ぞれ
S1 =
S2=
n1
1
n1
n2
i=1
722
i=1
n
(x₁ - x)(x₁ - x)
¹
i=1
(Yi — Y) (Yi – ÿ)
-
S= 1/2 (2₁-2) (2₁ - 2) T
i=1
Sw=115₁ +25₂
n
n
n2
n1
-
SB = 1/¹² ( x − z ) ( x − z ) ¹ + 2/2² (ÿ – z) (ÿ – z)™
n
n
Dis
① つねにS> Sw+SB が成り立つ。
② つねにS=Sw + SB が成り立つ。
③ つねに S < Sw + SB が成り立つ。
④ 上記に正しいものは一つもない。
と定義する。ここで「は転置を表すとする。 3つの行列 S, Sw, SB の関係につい
て、次の①~④のうちから最も適切なものを一つ選べ。 ただし, P > Q は行列
P-Q の固有値がすべて正であることを意味する。 10

正解
[3] 9
推定量の中では最小二乗推定量が最も高い決定係数を与えるので、①と③と
は適切であり、
不適切である。 図1より決定係数は高いことがわかるので,
不適切である。
よって、正解は
問6
〔1〕 10
n
Σ
i=1
1
S ==
n
2) 11
(Zi -
1
である。
・え) (zi -え) 「は
N1
n2
½ {[(xi − 2)(xi − 3)¹ + Σ(Yi − 2) (Yi − 2)¹ }
-
i=1
i=1
n
n1
n1
{Σ(x₁ − x)(x₂ − ñ)¹ + Σ(x − z) (x − z) ¹
i=1
i=1
n2
n2
+
Σ(Yi − Y) (Yi − ÿ)T + Σ(ÿ − 2)(ÿ − 2)¹}
-
i=1
i=1
と展開され,これは Sw + SB である。
よって、正解は②である。
フィッシャーの線形判別では w SBW
w Sww
つまり, 固有値を計算する行列は
1 3
5% - ( ) ( ) ( )
SW-SB =
8
正解
を最大化するベクトルが用いられ
である。そしてその (0 でない) 固有値1に対する固有ベクトルは |
(1)
線形判別に用いられる。
よって、正解は②である。
正解
であり、そ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Take

きょん様
以下、「xバー」等を、記号「Mx」等で代替します。(xのMean)
1行目の第1項について
Σ(i=1～n1) (xi-Mz)²
=Σ(i=1～n1) ｛(xi-Mx)+(Mx-Mz)｝²
=Σ(i=1～n1) ｛(xi-Mx)²+2(xi-Mx)(Mx-Mz)+(Mx-Mz)²｝　←2乗の展開
=Σ(i=1～n1) ｛(xi-Mx)²+(Mx-Mz)²｝+2(Mx-Mz)Σ(i=1～n1) (xi-Mx)
=Σ(i=1～n1) ｛(xi-Mx)²+(Mx-Mz)²｝+0　←xの偏差の総和は0より
=Σ(i=1～n1) (xi-Mx)²+Σ(i=1～n1) (Mx-Mz)²
となります。
第2項も同様です。

きょん

Takeさん、こちらご解答いただきありがとうございます。
質問が紛らわしくて申し訳ないのですが、1行目はTakeさんが言及してくださっている行ではなく、その上のS=から始まる式を指しておりました。Σ(zi-Mz)(zi-Mz)からどう展開したらΣ(xi-Mz)(xi-Mz)+Σ(yi-Mz)(yi-Mz)になるのかを知りたかった次第です。
もしご存知でしたら教示いただけますと幸いです。

Take

きょん様
こちらこそ失礼しました。
Σ(i=1～n) (zi-Mz)²
=(z1-Mz)²+(z2-Mz)²+…+(zn-Mz)²
=｛(x1-Mz)²+(x2-Mz)²+…+(xn₁-Mz)²｝+｛(y1-Mz)²+(y2-Mz)²+…+(yn₂-Mz)²｝　…①
=Σ(i=1～n₁) (xi-Mz)²+Σ(i=1～n₂) (yi-Mz)²
になります。①が成り立つ理由は2つの集合｛z1,z2,…,zn｝、｛x1,x2,…,xn₁,y1,y2,…,yn₂｝について
｛z1,z2,…,zn｝=｛x1,x2,…,xn₁,y1,y2,…,yn₂｝　←つまり、zi
だからです。

Take

きょん様
おわりの２行目のつづきです。
｛z1,z2,…,zn｝=｛x1,x2,…,xn₁,y1,y2,…,yn₂｝　←つまり、zi を適当に並べ替えると x1,x2,…,xn₁,y1,y2,…,yn₂ の順にできる
だからです。

きょん

Takeさん、ありがとうございます。
解説いただき納得しました。
問題文のn=n1+n2の部分から曲解していました。（zはx, yを加算したものと誤った解釈をしていました）
zにはx, yのいずれかのデータが対応していて、zのデータ数がx, yのデータ数の合計になっているということですね。
｛z1,z2,…,zn｝=｛x1,x2,…,xn₁,y1,y2,…,yn₂｝
↑このように記載いただいて分かりやすかったです。
どうもありがとうございました！