Question

ゆ

証明の問題です

⑵ ｎの２乗＋１は3の倍数でない

⑶ｎの２乗を６で割ったときの余りは、０か１か３か４である。

画像は解答で、それぞれなぜそう表すのかがわかりません。

(2) すべての整数nは
n=3k, n=3k+1, n=3k+2 (kは整数)
のいずれかの形で表される。
[1] n=3kのとき
n2+1=(3k)2 +1=3.3k2+1
[2] n=3k+1 のとき
n2+1=(3k+1)2 +1 = 9k² +6k + 2
=3(3k2+2k) +2
[3] n=3k+2のとき
n2+1=(3k+2)2 + 1 = 9k² + 12k + 5
=3(3k²+4k+1) + 2
いずれの場合もn +1は3の倍数でない。
よって, n2+1は3の倍数でない。

(3) すべての整数nは
n=6k, n=6k±l, n=6k±2, n=6k+3
(kは整数) のいずれかの形で表される。
[1] n=6kのとき
n2=(6k)2=36k2=6.6k2
[2] n=6k±1のとき
n2=(6k+1)=36k2 ± 12k + 1
= 6(6k2+2k) +1 (複号同順)
[3] n=6k±2のとき
n2=(6k+2)2=36k2 +24k+4
=6(6k²±4k)+4 (複号同順)
[4] n=6k+3のとき
TE
n²=(6k+3)2=36k2+36k+9
=6(6k² +6k+1)+3
よって, n2を6で割ったときの余りは0か1
3か4である。

Answer 1

ローラー

例えば9を3で割ると余りは0になります。10なら余りは1です。11なら余りは2ですね。これからもわかるように全ての整数において3で割ったら余りが0か1か2のどれかになりますよね。それを表現してるんですよ。問題は次の6の倍数です。余りが負になるのかと思ってしまいますが6k-1=6(k-1)+5となり、余りが5だと言う事なんですね他のものも同様に表せます。じゃあなぜわざわざ6kの後ろに負の数をつけてわかりにくくするのか。それは解答を見れば計算が楽になっているからだとわかります。