Question

Hi（受験生）

224.
解答の
「②でu=0と〜は②である」
という記述はなくてもいいですか？？
自分が解く時に②でu=0だったら不等式に矛盾が生じるということを想像しないような気がしたのですが、どうでしょうか？？

2
演習 例題224/ 3本の接線が引けるための条件 (2)
|f(x)=x-xとし, 関数 y=f(x) のグラフを曲線Cとする。 点 (u, v) を通る曲
線Cの接線が3本存在するための,の満たすべき条件を求めよ。 また、その
[類 鹿児島]
条件を満たす点(u, v) の存在範囲を図示せよ。
指針 前ページの演習例題223と考え方は同様である。
曲線C上の点(t, f(t)) における接線の方程式を求める。1つ
2② ① で求めた接線が,点(u, v) を通ることから,
.tの3次方程式を導く。
③3 ②の3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件を, u, vの式で表す。
解答
f'(x)=3x²-1であるから, 曲線C上の点の座標を(t, f(t))
とすると,接線の方程式は
y-(t³-t)=(3t²-1)(x-t)
すなわち
y=(3t²-1)x-2t³
この接線が点(u, v) を通るとすると
よって
2t³-3ut²+u+v=0
①
+48-20
3次関数のグラフでは、接点が異なれば接線も異なる。 前ページの検討 参照。
ゆえに,点(u, v) を通るCの接線が3本存在するための条件
は、tの3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつことである。
よって, g(t)=2t3-3ut'+u+cとすると, g(t) は極値をもち,
極大値と極小値が異符号となる。
g'(t)=6t2-6ut=6t(t-u) であるから
u=0 かつ g(0)g() <0
g(0)g(u)<0から
(u+v)(-u³+u+v) <0 .......
②②
②でu=0 とすると<0 となり,これを満たす実数は存在
よって
しない。 ゆえに,条件 u≠0 は②に含まれるから、求める条件
は ② である。
②から
[u+v>0
1-u³+u+v<0
u+v<0
l-u³+u+v>0
v>-u
または
HOLOND
v=(3t²-1)u-2t³
10-u
[v>u²³-v
または
したがって,点(u, v) の存在範囲は
右の図の斜線部分。 境界線を含まない。
V.
✓30
2√3
9
2√3
9
√3
3
基本 219, 演習 223
◄y-f(t)=f'(t)(x-t)
TERRI
p.337 の例題219 参照。
g'(t)=0 とすると
t=0, u
u=0のとき, t=0,uの
うち一方で極大,他方で極
小となる。
v=uuのとき
v=3u²-1
'=0とすると
√3
3
u=±.
v=
u=±
√√3
3
2√3
9
のとき
(複号同順)
330
直線 vu は曲線C の
原点Oにおける接線。

Answer 1

Tsuduren

u≠0の条件がつくので、②を満たす範囲を考えた上で、uが0になる点を省こうと思っておけばいいと思います。今回の場合②を満たす中にu=0となる点は存在しないので省く点はないんだなあぐらいでいいと思います。