Question

ｴﾉｷ

問題の⑴と⑵について2つ質問させて下さい！

①私は⑴でf(x)を場合分けして分かりやすくしたのですが、定義域を表す時<を使わずに全て≦を使いました。答えは<も使っていたのですが、採点される時に私 の定義域の表し方はダメでしょうか？

②⑵において、(ⅰ)のグラフの傾きが0になった時、2枚目の写真右下の赤線で書かれた図のようになって、0≦x≦a、b≦x≦1においてmを持つことになり、m=f(0)またはm=f(1)のみであるとは言えないのでは無いかと思いました。ですが答えはa+b=1のときf(0)=f(1)としか書かれておらず理解する事が出来ませんでした。どうしてf(0)=f(1)と片付けることが出来るのでしょうか？

S1 整数方程式と不等式
1
2022年度 〔1〕
0≦a≦b≦l をみたす α bに対し, 関数
f(x)=|x(x-1)|+|(x-a)(x-b)|
を考える。 x が実数の範囲を動くとき, f(x) は最小値m をもつとする。
(1) x < 0 およびx>1ではf(x) >mとなることを示せ。
(2)=f(0) またはm=f(1) であることを示せ。
(3)a,bが0≦a≦b≦1 をみたして動くとき,mの最大値を求めよ。
ポイント (1) x < 0 およびx>1のとき, f(x) の式の絶対値をはずすとxの2次関数
となるので, グラフの軸の位置を調べてf(x) >mであることを示す。
(2) 0≦x≦aおよび b≦x<1のときとa<x<bのとき. f(x) の絶対値をはずすと, そ
れぞれxの1次関数,xの2次関数となる。 1次関数のグラフの直線の傾きによって場
合分けをすると, m=f(0) またはm=f(1) を示すことができる。
(32)の場合分けを用いて考えていく。 〔解法1〕 場合分けの不等式を用いて2変数関
数の最大値として求める方法, 〔解法2] 不等式の表す領域を図示して考える方法, 〔解
法3〕 相加平均と相乗平均の関係を利用する方法などがある。
解法 1
(1) f(x)=|x(x-1)+(x-a)(x-b), 0≦a≦b≦1より x < 0 およびx>1のとき
f(x)=x(x-1)+(x-a)(x-b)
=2x²- (a +6+1)x+ab
= 2(x = a + b + ¹)²_ (a+b+1) 2
8
グラフの軸の方程式は, x=
a+b+1
4
0≦a≦b≦1より
+ ab
1_a+b+]
4
はx<0のとき単調減少, x>1のとき単調増加となるの
3
となる。
Level C
であるから, f(x)
Oa+b+1
4
で, 最小値はもたない。
f(x)は連続関数で最小値がmであるから,x< 0 およびx>1ではf(x) >mとなる。
(証明終)
(2) 0≦x≦aおよび b≦x≦1のとき
f(x)=-x(x-1)+(x-a)(x-b)
=(1-a-b)x+ab
a<x<bのとき
f(x)=-x(x-1)- (x-a)(x-b)
=-2x² + (a+b+1)x -ab
- 2(x_ a + b + ¹)² + .
a+b+12
4
(i) 1-a-b≦0 すなわちa+b≧1 のとき
0≦x≦a および b≦x≦1のとき, f(x)のグラフの傾き
は0以下であるから, f(x) は単調減少または一定であ
る｡
a<x<bのとき, f(x)のグラフは上に凸である。
よって, 0≦x≦1におけるf(x)のグラフは右図のよう
になるので,この範囲における最小値は,α+6>1 のと
き (1), g+b=1のとき(0)=f(1) となる。
(ii) 1-a-b>0 すなわち a +6 <1のとき
0≦x≦a および b≦x≦1のとき, f(x) のグラフの傾き
は正であるから, f(x) は単調増加である。
a<x<bのとき, f(x)のグラフは上に凸である。
よって, 0≦x≦1におけるf(x) のグラフは右図のよう
になるので,この範囲における最小値はf (0) となる。
(1) の結果と(i), (i)より, m=f(0) またはm=f(1) であ O
( 証明終)
る。
[ab-a-b+1 (a+b≥1)
(a+b<1)
(3) (2)の結果より,m=
(i)a+b≧1 のとき
(a+b+1) 2
-- ab
8
ab
となる。
m=ab-a-b+1=(a-1) b-a+1
ここで, αを固定してbを1-α≦b≦1の範囲で変化さ
せたときのmの最大値をM(α) とすると, a-1≧0よ
り, b=1-αのとき
M (a) = (a-1) (1-α)-α+1=-α+α となる。
J'A
O
YA
a
a
1-a
b
b
I
1 x
b

(水(x-1)+(x-a)(x-b)(x=0、1≦x)
f(x) = -x (x-1) + (x-a) (x-b) (0≤x≤a b ≤x≤1)
2
(= x (x + 1) = (x-a) (x-b) (a≤x≤ b)
よって、
fix) = ( 12/x - a+b+ly 2 (a+k1/²2
4
"+ab (x≤0. |≤x) -- ()
8
-la+b-1) x + ab (0≤x≤a, b≤x≤1) ~ 2
-2 (x_ato+1)² (a+b+ 1)² - ab (a ≤ x ≤ b) @
①と③の軸は同じである Gregor
b
②について、xの係数-(a+b-10-④であれば②は単調増加であり、
xの係数-latb-1)<0.⑤であれば②は単調減少である。
④のとき、f(x)の概形は左下図の⑤のとき、f(x)の概形は右下図
xy
9
y
a atbil b
4
→文
atb-1=0のときのグラフも書く。
a
atht! b
a atht! b

` F₁₂200 2+₁ m = f(0) =
・⑤のとき、m=f(
ゆえに、つくおよびx>1ではf(x)mとなる。
21 (1) *M, atb -1 <0 0₁ ( ² m = f₁₁)
atb-120のときm=f川である。
よって、m=f101またはm=州である。
Date
a+b-1=00² m = f(0) = f(1)

方程式と不等式 数ⅰa

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

poppo

①≦のみでも範囲が正しければokです。

②最小値を取る全てのxを求める必要はなく、あくまで最小値mがf(0)またはf(1)となることを示せば良いのです。
質問者さんの言う、m=f(0)またはm=f(1)のみであるとは言えないのではないか、とはその通りですが、そう言う必要がないのですね。
f(0)もf(1)もただの値ですから、それと同じ値が他のxであったとしても最小値mにかわりないですよね。