Question

HUF

図形と方程式の問題です。
証明なのですが、解答(問題番号177)の緑マーカーが引いてある所が何故なのか分からないので、回答よろしくお願いします。

△ABCの3つの頂点と,それぞれの対辺の中点を結ぶ線分を AL, BM.
CN とするとき, 3つの直線AL, BM, CNは1点で交わることを証明
せよ。
教p.78 応用例題 6

68
数学Ⅱ
177. 直線BC をx軸に, BCの中点L
を原点にとり, Ala, b), B(-c. 0),
C(c.0) とおく。 ただし,
b0.c>0である。
ACの中点は、Mate. 2/20) である
からMのx座標がcでないとき、
すなわち, キー3cのとき、直線BM の方程式は,
y-0=
第2章 図形
y-0=
b
2
atc
2
b
すなわち、y=a+3c
²-(-c)
-0
a-c
2
y=
-(x-(-c))
b -0
2 (x-c)
③ に x =
6bcx=2abc.x=1/3
これを①に代入して.
a
y=
b
a+3c3
a
bc
a+3c
① ② より 直線BMとCNの交点のx座標を考えると,
b
b
bc
a+3c a+3c a-3c"
-x+
X-
b(a-3c)x+bc(a-3c)=b(a+3c)x-bc(a+3c)
同様に考えて、ABの中点は Nan. 1/23) であるから、Nの
x座標がでないとき,すなわち、キ3cのとき,直線CN=cとすると
程式は,
b
bc
すなわち、y=-
......
②
a-3c a-3c
Aのx座標が0でないとき すなわち, 4=0のとき, 直線 AL
の方程式は.
N
以上より, 直線BM と CN の交点の座標は,
B(-c,0) O
(L)
bc
a-3c
x = 1/23 を代入すると,
ab+3bc_b(a+3c)
bc
b
a+3c 3(a+3c) 3(a+3c) 3
A(a,b)
M
a b
3
3
C(c, 0)*
ba b
a 3 3
であるから a=-3c かつa=3cかつa=0のとき, 直線 ALは
直線BM と CN の交点を通る。
ここで, c=0 より, a=-3cとa=3c と α = 0はどの2つも同時
に成り立つことはない。
|2直線の交点を、他の1直線
が通ることを証明する。
b=0やc=0のときは三角形
が成立しない。
accとすると.
2
a+c=-2c
a=-3c
a-c=2c
a=3c
原点と点(a,b) を通る直線
の方程式は、 a=0のとき,
b
y=-x
a
a=-3cのとき, 直線BM の方程式は, x=-cとなり、 ②との
交点のy座標は,
b
y=-3c-3c
(-c)--
be
b
-3c-3c 6
-c+
b
また, 直線BMAL の交点のy座標は,y3c
+
be
3c+3c 6 6 13
b b
+
b
b
6
-
178. (1) x2+y²=32
b
3
同様に考えて、a=3cのとき, 直線 CN の方程式はx=c となり.
①との交点のy座標は,
b
y=3c+3c
1
b
また、直線CN AL の交点のy座標は,y= C=
3c
すなわち, x2+y²=9
(2)(x-3)+(y-2)=52
•(-c)=
b
3
a=0のとき､直線ALの方程式はx=0 となり、①と②の交点
のx座標は、x=0
よって、a=-3c またはα=3cまたはa=0のときも、3つの直
線AL, BM, CN は1点で交わる。
以上より、3つの直線AL, BM, CNは1点で交わる。
b
3
第2章 図形と方程式数学Ⅱ 69
すなわち, (1,-1)
半径は, AC=√{1-(-2)}+{-1-(-3. =√13
よって,円の方程式は, (x-1)^2+{y-(-1)}^=(√13)
すなわち, (x-1)+(y+1)=13
179. (1) 方程式x2+y2+2x-4y-4=0 を変形すると,
(x+1)-12+(y-2)-22-4=0より
(x+1)^2+(y−2)2=9
これは,中心が点(-1,2), 半径3の円を表す。
(2) 方程式x+y²-4x-6y+13=0 を変形すると,
(x-2)^-22+(y-3)²-32+13=0より
(x-2)+(y-3)=0
これは, 1点 (23) を表す。
すなわち, (x-3)2+(y-2)²=25
(3) 円の半径は,点(-3.5) と点(-1,-2)の距離であるから,
√{−1−(−3)}+(-2-5)²=√53
よって、円の方程式は,{x-(-3)}2+(y-5)²=(√53)2
すなわち, (x+3)+(y-5)²=53
(4) 円の中心をCとすると,線分ABの中点が点CであるからCO
の座標は,
-2+4 -3+1
2
- 3+1)
2
A (-3c.b)
C, 1/2)
B-C,00 C,0) x
N
YA
N(C, 2-
M
B(c.00 Cle.0) x
(L)
B(-c.0) O
(L)
ya
A(-2,-3)
M-C,
A(0,6)
YA
A(3c.b)
M
●中心が点(a. b). 半径がぁの
円の方程式は,
(x-a)^²+(y-b)²=p²
C(c.0)
B(4,1)
ま
C(1,-1)
Ox²+y²+lx+my+n=0 lt,
(x-a)+(y-b)=kと変形
k>0のときは、
中心点 (4. b). 半径が
の円
k=0のときは.
1点 (a,b)
を表すが、 k<0 のときは,
この方程式の表す図形はない。
第2章

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

yuyu

掲載されている解説の説明になります。
まずマーカーで引いてある部分の条件はダメというわけではなく場合分けです。最後の方にMのx座標が−cの場合とNのx座標がcの場合、Aのx座標が0の場合が書いてあります。左ページの「これらの条件は二つ同時に成り立つことがない」という文言が何故なのかという質問の答えです。つまりこれを組み込んで場合分けせずに計算してしまうと、それらの式で三角形が成り立たなくなるときがあってしまうということです。それを回避するために分けているのです。
一度自分で書こうとしてみたらわかると思います。Mのx座標を−c、Nのx座標をcとしようとすると絶対に条件通りの三角形が書けません。(実際には三角形ができますが、それだとM,Nの場所が変わってしまうはずです)

HUF

理解できました、ありがとうございます！