Question

あ

⑦解答の式がよく分かりません。

〔I〕”を自然数として,数字の1と2のみを用いてできる自然数を小さい順に並べ
て数列{an} を次のように作る。 以下の
をうめよ。
{an}:1,2,11, 12, 21, 22, 111, 112, …50
(1) an = (1)
(2) 数列{an}の項のうち, 4桁の自然数で, 千の位の数が1であるものは全部
で 3 個ある。 また, 4桁の自然数となるすべての項の和は 4
である。
a 16
ある。
である。
SA H
⑤
(3) an = 21121 であるとき, n=
(4) 数列{an}の項のうち, n桁の自然数で、左端の数が1であるものは全部で
6 個ある。また, n桁の自然数となるすべての項の和は (7)
である。
である。

(1) 桁ごとに組み分けすると
1桁 : α = 1, 2=2,
2桁: αs=11, α=12, as=21.6=22,
3桁:α7=111, as=112,s=121, ano=122,12212
13=221, and=222.
4桁:
01SASE
α1s=1111,16=1112,171121,81122, 191211
020
20=1212.2=1221, az=1222
(以下省略。 4桁の数字はあと8個ある)
ゆえに au=211 (①), 16=1112 (②)
(注){an}の項のうち, (m+1) 桁のものは, m桁の数の左端に1を付
け加えた数と2を付け加えた数からなる。
(2)(i) {an}の項のうち,3桁のものは、数字1,2を重複を許してとり、
3個並べた重複順列と同じである。 その総数は238個あり,その左端に
1 を付け加えればよい。
ゆえに,4桁で千の位が1のものの総数は
238個 (③)
() {an}の項のうち4桁のものについて,もとの数の1を2に2を
に取り替えたもの(例えば1211に対し2122) が必ずもとの数と対になっ
て存在する。 また,もとの数と対になった数の和は必ず3333 である。
4桁の自然数となるすべての項の和は.千の位の数が1であるものすべて
と,これらと対になった数すべての和である。 千の位の数が1であるもの
は全部で8個あるので 求める和は
8×3333=26664 (④)
(3) {an}の項のうち, 4桁以下のものの総数は
2(1-2¹)
2+22+2+2°=
-=2(2'-1)=30個
1-2
{an}の項のうち,5桁で千の位が1であるものの総数は4桁のものの
総数と同じだから
SOPEL STILL LISO
N
2個
{an}の項のうち,5桁で千の位が1または4桁以下のものの総数は
SOUD
30+16=46個
{4}の項のうち,5桁で 10 の位が2であるものを並べて作られた数列
の初項は,α47 である。
27240)
a^²=21111,48=21112,49=21121 (⑤)
(4)(i) {an}の項のうち, (n-1) 桁のものは、数字1,2を重複を許し
とり (n-1) 個並べた重複順列と同じである。 その総数は2″-1個であ
る。 その左端に1を付け加えればよいので 2-1 個 (→⑥)
() {an}の項のうちn桁のものについて,もとの数の1を2に2を1
に取り替えたもの(例えば 212112 に対し 121221)が必ずもとの数と対に
n
なって存在する。また,もとの数と対になった数の和は必ず33.3 である。
n桁の自然数となるすべての項の和は,千の位の数が1であるものすべて
と、これらと対になった数すべての和である。 千の位の数が1であるもの
は全部で2″-1個あるので 求める和は
72 191
n-1
2"-'×33.3=2"-'×3× 10*
=2"-1x3x
(3) ⑤
(1)
太
35
ⅢI 解答 (1) ① ②4 ③3 (2) ④.
8
−9+√65
8
k=0
1-10" _2"-'(10^-1)
1-10
3
60 (4) ⑦4
<解説>
<媒介変数表示の曲線 接法線面積≫
-2t
2t+3
f(t)=t2+3t,g(t)=4-2 とおく。 [
dx
dt
dy
dt
(②1)
C: (x,y)=(f(t), g(t)) (t|≦1)
=f'(t)=2t+3=1+2(t+1)≧1
(: |t|≤1) (9)
-=g'(t)=-2t
(①)
dy g' (t) -2t
dx f'(t) 2t+3
y=g(t)=4- (-1≦t≦1) より
YA
4
3
LE
y=g(t)