数学
高校生

積分
大問1の(3)についてです。
どうしてシグマを取ろうと思うのか、また、解説10行目の(2)より、という部分の解説をお願いします🙏なぜ(2)からその続きの式が言えるのでしょうか…

1 60点 (1) n を2以上の自然数とするとき, j = 1,2,,n-1について log/ + log(j + 1) -j+1 2 + ¹) <S" logxdx が成り立つことを示せ。 (2) 次の空欄ア、イをnの一次式で埋めよ。 ["logx dx = log {n 'xe1 (3) n を2以上の自然数とするとき、 次の不等式が成り立つことを示せ。 √n! (n-1)! <n^e-n+1
60点 (1) f(x)=log x とおくと j 2のとき. x軸とx=j.x=j+1, さらに(j,log/) (+ 1, log(j + 1)) を 結ぶ直線で囲まれる台形の面積は (2) log/ + log(j + 1) 2 (3) となり、 j=1のとき、上底下底の一方が0であると考えれば j=1のときも成り立つ。 したがって, f(x)=logx は上に凸だから図より log/ + log(j + 1) 2 flogxdx = f(x)'1 n-1 Σ j-1 すなわち EMI ここで [j+1 <f'"*² =nlogn-n+1 = logn" + loge" = logn"e-n+1 (1) から、 辺々和をとって = nlogn- ilog/+ log(j+1) 2 log/+ (2)より、 (x)'logxdx = {x logx) - xi d - ["dx 10点 R-1 1 J-1 logxdx < log(+1) 11-1 j-1 J-1 _log(/ +1) < logxdx Σlogxdx..-5 H-1 12log/12 {log1+log2' + log(n-1)} j-1 =2log(n-1)! =log(n-1)! 同様に考えて log(+1)=1 10点 10点 log √n! log√(n-1)!+logvn! <logne-x+1 ・・・ 10点 すなわち log/n! (n-1)! <logn"e-+1 240点 (1) 対数の底e は1より大きいから Vn!(n-1)! <n"e-n+1 ...5点 (2) dx dt -=-2 sint, ゆえに た筈のとき x=v2. y= y = 2x dy dx 2x- 第1項は v2 2 dy dt よって、求める法線の方程式は y-12/2=2(x-v②) から x COS t 2 sint 3v2 2 = cost t dx == 3√2-0 = 0 とすると x= - 3√2 2 ゆえに、求める図形の面積Sは 3√2 S = [2 (2x - ³4²) dx + [*vdx IT 4 であることに注意して. sint sint (-2 sin t)dt 点 0 0 1 第2項はy=sint, dx=-2sint dt, √2 = 2 * sin²tdt = f*(1- fa √√2 = 3√2 4 -[t-sin 2e|--1 = 4 1 8 点 (1-cos2t)dt 5点 3 よってS=1/2+(4-12-1747-2017 s 1) 8 .5点 Lin 5点 点 点

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