Question

Nちゃん

積分
大問1の（３）についてです。
どうしてシグマを取ろうと思うのか、また、解説10行目の（2）より、という部分の解説をお願いします🙏なぜ（2)からその続きの式が言えるのでしょうか…

1 60点
(1) n を2以上の自然数とするとき, j = 1,2,,n-1について
log/ + log(j + 1) -j+1
2
+ ¹) <S" logxdx が成り立つことを示せ。
(2) 次の空欄ア、イをnの一次式で埋めよ。
["logx dx = log {n
'xe1
(3) n を2以上の自然数とするとき、 次の不等式が成り立つことを示せ。
√n! (n-1)! <n^e-n+1

60点
(1) f(x)=log x とおくと
j 2のとき.
x軸とx=j.x=j+1,
さらに(j,log/) (+ 1, log(j + 1)) を
結ぶ直線で囲まれる台形の面積は
(2)
log/ + log(j + 1)
2
(3)
となり、
j=1のとき、上底下底の一方が0であると考えれば
j=1のときも成り立つ。
したがって, f(x)=logx は上に凸だから図より
log/ + log(j + 1)
2
flogxdx = f(x)'1
n-1
Σ
j-1
すなわち
EMI
ここで
[j+1
<f'"*²
=nlogn-n+1
= logn" + loge"
= logn"e-n+1
(1) から、 辺々和をとって
= nlogn-
ilog/+ log(j+1)
2
log/+
(2)より、
(x)'logxdx
= {x logx) - xi d
- ["dx
10点
R-1
1
J-1
logxdx
<
log(+1)
11-1
j-1
J-1
_log(/ +1) < logxdx
Σlogxdx..-5
H-1
12log/12 {log1+log2' + log(n-1)}
j-1
=2log(n-1)!
=log(n-1)!
同様に考えて log(+1)=1
10点
10点
log √n!
log√(n-1)!+logvn! <logne-x+1 ･･･ 10点
すなわち log/n! (n-1)! <logn"e-+1
240点
(1)
対数の底e は1より大きいから
Vn!(n-1)! <n"e-n+1
...5点
(2)
dx
dt
-=-2 sint,
ゆえに
た筈のとき
x=v2. y=
y = 2x
dy
dx
2x-
第1項は
v2
2
dy
dt
よって、求める法線の方程式は
y-12/2=2(x-v②) から
x
COS t
2 sint
3v2
2
= cost
t
dx
==
3√2-0
= 0 とすると x=
-
3√2
2
ゆえに、求める図形の面積Sは
3√2
S = [2 (2x - ³4²) dx + [*vdx
IT
4
であることに注意して.
sint
sint (-2 sin t)dt
点
0
0
1
第2項はy=sint, dx=-2sint dt,
√2
= 2 * sin²tdt = f*(1-
fa
√√2
=
3√2
4
-[t-sin 2e|--1
=
4
1
8
点
(1-cos2t)dt
5点
3
よってS=1/2+(4-12-1747-2017
s 1)
8
.5点
Lin
5点
点
点