Question

すずお

どうしてh(x)が正の値も負の値も両方取るのは、原点における接戦の傾きh’(0)が負になるときなんですか？

例題 5 センター試験本試
aを0でない実数とし、関数f(x) を
f(x)=3ax² - (8a+6)x+4a+6rel
により定める。
(1) b, u, vを実数, b=0 として,g(x)=3bx2+ux+v とおく。 g(x) が
Lg(x)dx=-6 をみたし、座標平面において, y=g(x) の表す放物線C
J
点(-1, 9) を通るとする。 このときuとはを用いて
u=アイ +ゥ], v=1 エ
オ
と表される。さらに,放物線y=f(x) と放物線Cが,y 軸上で共有点をも
ち,その点における2つの放物線の接線が一致するならば
a=カキ, b=ク
となり,その接線の方程式は
y=ケコ x
| サ
A
である。
(2) αを(1)の解のみに限定せずに, 0でない実数とする。 関数ん (x) を
x
h(x) = f* f ( t ) dt
により定める。 このとき x=0 および x =2 におけるん (x) の値と微分係数
は,それぞれ
ん(0) シ
h(2)=
h'(0)=セa+ソ
タチ
h'(2)
である。 0≦x≦2の範囲でん(x) が正の値も負の値も両方とるのは
a <
のときである。
ツテ
ト
スズぞれ

(2) h(x) = {3at² - (8a+6) t+4a+6}dt
= [at³ − (4a+3)t² + (4a+6) t]
=ax³—(4a+3)x² +(4a+6)x
であるから
h(0)=0
h(2)=8a-4 (4a+3)+2(4a+6)=0
また, h'(x)=f(x) であるから
h'(0)=f(0) =4a+6
h' (2)=f(2)=12a-2(8a+6) +4a+6
=-6 答
h(x) = f*f ( t )dt
df*f(t)dt=f(x)
141

である。これらの値より, h(x) y=h(x)
Ay
が 0≦x≦2の範囲で正の値も負
の値もとるとき,y=h(x)のグラ
フは右の図のようになる。 よって
h'(0)=4a+6<0
:. a<
a<3³ €
答
2
解説
149+6
傾き
-6
2 x
原点における接線の傾き
h'(0) が負になる。

数学 微分積分 数ⅱ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ミゾレ

まず、x=2のときのh(x)の傾きから、h(x)が正の値を必ずとると分かります。つまり、この問題の意図は、「h(x)が負ってのがあり得るのは？」ということですね！
次に、h'(x)に着目しましょう。h'(x)=f(x)より、h'(x)は2次関数、多くとも解を2つしか持ちません。ここから、h(x)は極値を2つまでしか持てないことが分かります。そしたら、(0,0)と(2,0)を通り(2,0)で負の傾きとなると、0≦x≦2で山になるか谷山になるかの２択ですよね、山パターンならh'(0)≧0に、谷山パターンならh'(0)＜0になる、ということです。

(これで伝わるでしょうか…？)

すずお

本当にありがとうございます！！！
もやもやがスッキリしました！！㊗️