Question

ひきわり

編入数学徹底研究の151ページについて質問です。
固有値、固有ベクトルを求めたあとに、正規直行化を行っています。しかし、(3 0)
(0 2)の部分はわざわざ正規直行化をしなくても、固有値が分かれば求まると思います。(今回も2と3は固有値であるように。)
解答に正規化したものを全く使用しないのに、なぜ正規化したものを求める必要があるのかわかりません。
よろしくお願いします。

例題13-4 (2次形式)
次の2次形式の標準形を求めよ。
標準形に書き直すことができる。
[解説] 2次形式 'xAx は適当な直交行列P による変数変換x=Pyによって,
解答 Q(x,y)=2x²-4xy-y²=(xy)
^= (-²2-²³)
-1
行列 A の固有値を求めると, 32
2次形式の行列は,A=
これはただちに正規直交化できて,
2
√5
b₁ =
固有値 3, -2 に対する固有ベクトルとして, a1=1
//////////
a₁
Tail
そこで,P=(bb2)=
ここで,
Q(x,y)=2x²-4xy-y²
1
2
+/- (-²)
類題13-4
5
2
√√5 √5
1
2
15 √5
(3-2)
= (X_Y)
とおくと,
-2
=²) (*) **
3)(3)
b2
次の2次形式の標準形を求めよ。
Q(x, y,
-2
このとき. Q(x,y)=(xy) A(x)
- (-2)-(2) か?
Pは直交行列で, 'PAP=
X
(*) - P (4)
( * )= ( x ) ²³
'P
£>T, Q(x, y)=(x _y)A(*)=(X_Y) PAP(X)
a2 1
|az|
X
» (³-2)(x)=
=
とおくと,
より,
√5
- (2) -
z)=5x²+y²+z²+2xy+6yz+2zx
151
がとれる。
1
√5
2
√5
=3X2-2Y?･･･ 〔答〕
:: (x y)=(X_Y)'P
解答は p.263

数学 編入数学徹底研究

Answer 1

sin theta

実は対称行列は固有ベクトルを正規化しなくても対角化は可能ですが，直行行列にはなりません。
一般に二次形式は対称行列で表現されます。対称行列は正規直行化した固有ベクトルを並べた正則行列によって直行行列に対角化できます。

sin theta

直行行列に対角化→直行行列によって対角化できると訂正します。

sin theta

確かに正規直行化した固有ベクトルは直接使うわけではありませんが，対角化には必要ゆえ求めているということです。

ひきわり

ご回答ありがとうございます。

回答に関してですが、対称行列を対角化する場合は直行行列でしか対角化できないということでしょうか？

また、固有ベクトルは対角化のために必要であるのもわかりました。しかし、正直固有方程式を解いた時点で答案は出来上がると思いますが、解答に直接関係なくても固有ベクトルを求めるのでしょうか？

よろしくお願いします🙇

sin theta

一つ目に関しては，そういうわけではないが答えです。例えば単位行列Eは自明な対称行列ですが，任意の正則行列Pに対しP^-1EP=Pであることからわかります。
二つ目に関しては，確かにおっしゃる通りですが，対角化可能なことを自明としてしまうと元も子もない気がしますね。固有ベクトルまで求めるのが一番いいと思います。