Question

まうみ

0≦x＜3を満たすものは(i)ではk=-1として、(ii)ではk=2としているのですが、どのようにしたらkの値を定められるのですか？

13問~ 第5問は,いずれか2問を選択し、 解答しなさい。
第4問 (選択問題) (配点20)
みつよし
じん
1627年(寛永4年) に吉田光由が著した「塵
劫記』 は, 身近な題材をもとに計量法や計算法
を解説した算術書であり, 寺子屋等で庶民にも
親しまれていた。 この中に 「油分け算」 と呼ば
れる問題がある。 問題を現代風に書くと以下の
ようになる。
問題 10Lの容器いっぱいの油を,7L
の容器と3Lの容器を使って 5L ずつに
分けたい。 どのようにしたらよいか。
vallal
TA
a dest
P
corals
10-1
(出典: 京都府立京都学歴彩館
京の記憶アーカイブ)
ここでは,最初油が10L入っている10Lの容器をP とし,7Lの容器を A, 3L
の容器をBとする。
(1) 簡単のため, 別の 10Lの容器 Q があるとして,次の四つの操作を考えよう。
A :容器 P から容器 Q に, 容器 Aを用いて7Lの油を移す。
⑧ : 容器 P から容器 Q に 容器 B を用いて3Lの油を移す。
A
容器Qから容器P に, 容器 A を用いて7Lの油を移す。
B : 容器 Q から容器P に, 容器B を用いて3L の油を移す。
操作とは逆の操作であるから,これらを組み合わせることは意味がないこ
とに注意しよう｡ 操作 ⑤ とについても同様である。
数学Ⅰ・数学A 第4間は次ページに続く)
(i) まず, 操作を回操作を回行うときを考える。
P (10L)
A
x=1x5+
A (7L)
イ 2.
B (3L)
操作を1回行った後、 操作を続けて
Lの油が残る。 このとき, x=1. y= ア
になっている。
この問題では, 不定方程式
7x-3y=5
の整数解 x,yを考えればよい。 この方程式のすべとし
て
ア
Q(10)
行うと、容器Q には 1
は不定方程式x-3y=1の整数解
ym -〒×5+1
第1回 17
れる。
① 整数x,yの中で, 0x<3を満たすものは
I
である。 したがって、操作を
行うことにより,P,QにそれぞれLずつのを分けることができる。
(数学Ⅰ
第4間は次ページに置く

18
次に、操作をり回操作をx回行うときは不定方程式
3y-7 x = 5 すなわち 7x-3y=-5
を考えればよい。この整数解xyの中で 0≦x<3を満たすものは
X =
y = キ
である。 したがって, 操作を
キ
回操作を
行うことにより,P,Qにそれぞれ5Lずつの油を分けることができる。
回適当な順に
容器Qを用い,操作 ⑥ と を組み合わせて油を分けるときは,容器Pからはち
ょうど3Lの油をとり, 容器Pへはちょうど7Lの油を戻すことに注意すると,容
器 Q を用いなくても、以下の操作を繰り返せば、上の考察がそのまま利用できる。
容器B が空のときは, 容器 P から容器B いっぱいの油をくみ取る。
容器 B が空でないときは, 容器Bが空になるまで以下を繰り返す。
「 容器 A が油で満たされていれば容器Aの油を容器Pに移し,
そうでなければ容器B の油を可能な限り容器Aに移す。」
(数学Ⅰ・数学A 第4問は次ページに続く。)

と表される.
よって①の一般解は整数々を用いて
x=1x5+ 3
k. y=2x5+ 7 k
と表される。このうち, 0≦x<3を満たすものは,k=1 として
2
y= 3
である. したがって, 操作を2回、 操作を3回適当な順に行えば
P, Q にそれぞれ 5L ずつの油を分けることができる.
(操作を回操作を回行うときは, 不定方程式
3y-7 x = 5 すなわち 7x-3y=-5
を考えることになる.
この方程式の整数解のうち, 0≦x < 3 を満たすものは,
y= 4
である.したがって, 操作を4回 操作を1回適当な順に行えば
P. Q にそれぞれ 5L ずつの油を分けることができる.
, P, A, B に入っている油がそれぞれ 6L, 1L, 3L であること
(6,1,3) のように表すことにすると, 容器 Q を用いずに油を分ける手
順は以下のようになる.
(10,0,0)
(4,6,0)
(8,2,0)
1回目
5回目
9回目
(7,0,3)
(1,6,3)
(5,2,3)
2回目
6回目
10 回目
(7,3,0)
(1, 7,-2)
(5,5,0)
3回目
7回目
(4,3,3)
(8,0,2)
4回目
8回目
すべての整数解を表したものを一般
という。
12
の順に行う。
(1)と同様に一般解
x=-1x5+3k. y=-2x5+7k
を求めk=2としてもよいし、
0x3であることからx=0,
1,2のときを考えてもよい。
→
⑥ の順に行う.