Question

あるある

芝浦工業大学2021年度数学の問題です。写真の黒で囲った部分の意味がわかりません。なぜ急に4(x^2+y^2)+4を加えるのですか？

に適する解答を所定の解答欄に記入せよ。
3. 次の
Mi
座標平面において,直交座標(x,y) に関する方程式(x2+y^2=4(x²-ye)
で表される曲線をCとする。 直交座標の原点Oを極,x軸の正の部分を始線とする
極座標(r, 0) に関して, 曲線Cの極方程式は定数kを用いて,24cos(ke)
と表される。このとき,k (ア) である。さらに, α は正の定数とし, 2点
A,Bの直交座標を,それぞれ (-α,0), (a,0)とする。C上の点Pと2点
=
A,Bとの距離の積 PA･PBが常に一定の値であるとき, a = (イ)
PA･PB = (13) である。また, 点PがC上を動くとき, 点Pの直交座標を
(x,y)とすると,y2 の最大値は, (エ) である。 y2 が最大値をとるときの
点Pの極座標を(r, 0) とすると, re=
(オ)
である。
"

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◆解説◆
極座標, 極方程式>
C: (x²+y²)²=4(x² - y²)
直交座標の原点Oを極, x軸の正の部分
を始線とする極座標 (r, 0) に関して,
(x,y)=(rcose, rsin() とおくと,曲線
C の方程式 (x2+y2)2=4(x2-y^) は
{r²(cos²0+sin²0)}²
= 4 r²(cos²0-sin²0)
4=4rcos20
m2(r2-4cos20)=0
VA
0= 8+15+0
(x, y) = (rcos0, rsinė)
よって
r=0
または²4cos20の内
r=0 は極を表し, 2=4cos20は極を通るので, 曲線Cの極方程式は
r2=4cos20 ..... ①
00-
MO
よって,曲線Cの極方程式を定数kを用いて, r2 = 4cos(k) と表したと
400TRGM
き,k=2である。→(ア)
また 曲線 C の方程式 (x2+y2)2=4(x²-y2) について,両辺に
4 (x2+y2) +4 を加えて
(x2+y)2+4(x²+y^)+4=4(x2-y2) +4(x²+y2) +4.
1402001
{(x2+y)+2}^=8x²+4
{(x2+y^)+2}^- (2√2x)^2=4
{(x2+y2)+2+2√2x}{(x2+y^)+2-2√2x}=4
{(x+√2)^+y^}{(x-√2)^+y^}=4p=
√(x+√2)2+y2.√(x-√2)²+y2=2
よって,曲線Cは,2-√2)(√2.0) からの距離の積が常に2
となる点の集まりである。
ゆえに, a は正の定数とし, 2点A,Bの直交座標をそれぞれ
0="022020j=pre
(-α,0), (a,0)とすると,C上の点Pと2点A,Bとの距離の積
PA・PB が常に一定の値であるとき, a=√2, PAPB=2である。
em 20
(ウ)

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