Question

つまようじ

数学、関数の極限についての質問です。
マーカー部分の極限値の出し方を教えてください！それと、よく「グラフの概形をかけ」問題で「必要があればlim○○=0であることを用いてよい」とありますが、この極限の式(？)の使い方がイマイチ分からないです…

f(x)=(x-1)'e-xより,
(S+x f'(x) = 2(x-1) e-*— (x-1) ²e-³
=(x-1)(x-3) e-*
であるから, f(x) の増減は次の表のようになる.
また、
x→∞
lim f(x) = ∞,
x→−8
1
f'(x) - 0
f(x)
4
3
X
O
...
1
1
x48
...
limf(x) = lim(x-1) ²e-(x-¹).e-¹ = 0
+
3
0
4
3
...
07
11 - f) lim x²è*=o
2-00
3
であるから, y=f(x)のグラフは以下のようになる.
-
7
-1
y = f(x)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

あ

つまようじ

下の変形についてですが、題意のような形にするために「e^-x」を「e^-(x-1)･e^-1」の形にしたという考えでいいのでしょうか、？

あ

そういうことです

あ

補足します。
何故x=∞の極限を求めているかというと、グラフの概形を書くためには一番右端でどのような振る舞いをするのか調べないと行けないからです。例えばx＝∞で−∞になるような関数であれば、x軸を突き抜けてどこまでも下に下げれば良いですが、収束値を持つ関数では行けません。もしx=∞で、0となるような関数であれば、減少していっても0に近づいて行き、０に到達しないことを示さないと行けません。これは漸近線に似た考え方です。

あ

つまり使うべくして、その極限を使う訳です。しかし、そのためにはx^2e^(-x)の収束する値を調べないといけないのですが（教科書に載っていないため）、常識的に考えてxの多項式よりも指数関数の方が発散のスピードは大きいので、すぐに０だとわかります。問題では、「わざわざここの問題では極限の証明をしなくていいよ。見たいのは、グラフの概形を書けるかどうかの能力です。」ということを言っています。なので、問題文に与えられているものを、そのまま使ってしまえばいいです。

つまようじ

なるほど…！詳しくありがとうございます！