Question

あや

オリスタ探求 92
(2)なぜこの式になるのか分かりません。

* 92 1から7までの数を1つずつ書いた7個の玉が袋の中に入っている。 袋から
玉を1個取り出し、書かれている数を記録して袋に戻す。この試行をn回繰り返
して得られるn個の数の和が4の倍数となる確率をpmとする。 ただし, nは正
の整数とする。
(1)
を求めよ。
(2) +1 を の式で表せ。
(3) n を求めよ。 また極限値 limp を求めよ。
n→∞
[14 福井大〕

(2) n+1回の試行を終えた時点で得られた数の和が
4の倍数であるのは,次の [1]~[4] の場合である。
[1] n回の試行を終えた時点で得られた数の和が
4の倍数であり,n+1回目はDから玉を取り出す。
FLINGS OF
[2] n回の試行を終えた時点で得られた数の和を
+05
4で割った余りが1であり, n + 1回目はCから玉
を取り出す。
137
[3] n回の試行を終えた時点で得られた数の和を
4で割った余りが2であり, n+1回目はBから玉
を取り出す。
11/
[4] n回の試行を終えた時点で得られた数の和を
4で割った余りが3であり, n + 1回目はAから玉
を取り出す。
[2] ~ [4] について, A, B, C に含まれる玉の数はす
べて2個であるから, n回の試行を終えた時点で得
られた数の和を4で割った余りがそれぞれ1, 2,3
である確率は等しく, 1/12(1-pm) である。 (9)
よって
Pn+1 = 7/7 Px + 3 + 2/7 · 1/3 (1
(1 — Þn)
1
2
= - -/- P ₁ + ²/
@ SVFFE
①

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

1,2,3,4,5,6,7を4で割ったあまりはそれぞれ、1,2,3,0,1,2,3である。
従って, n回目までの和を4で割ったあまりが1,2,3になる確率をq1(n),q2(n),q3(n)とすると,
q1(n)=p(n)2/7+q1(n)1/7+q2(n)2/7+q3(n)2/7
q2(n)=p(n)2/7+q1(n)2/7+q2(n)1/7+q3(n)2/7
q3(n)=p(n)2/7+q1(n)2/7+q2(n)2/7+q3(n)1/7
となるが,
q1(1)=q2(1)=q3(1)より,順に代入すれば,
q1(2)=q2(2)=q3(2)
…
q1(n)=q2(n)=q3(n)を得る。

これをq(n)とおけば,
p(n)+3q(n)=1

あ

感覚的には, 元の和S(n)に1,2,3,4,5,6,7 のいずれかを等しい確率で足すわけです。
S(n+1)=S(n)+k
(kは引いた数）
すると,k≡0,1,2,3(mod4)
1,2,3は少し出る確率が大きい。
0は少し出る確率が小さい。
k≡1,2,3のとき,
元のS(n)(mod4)から、異なる
S(n+1)(mod4)の値に
それぞれ等しい確率で分配される。
k≡0のときに限って、元のあまりと同じになる。
初期条件を考慮すれば、余りが1,2,3になる確率が等しいことは理解できます。
が、いきなりこれを思いつくのは難しいです

あや

ありがとうございます！！