Question

悠

微分 マーカー部分のこの文はどうしてこう言えるんですか？

[スタンダード数学ⅡⅠ 問題473]
|f(x)=x3-3px+pとおく。
|方程式f(x) = 0 が異なる3つの実数解をもつための条件は,
f(x) が極値をもち,更に, 極大値と極小値が異符号であること
( 極大値)×(極小値) <0
すなわち
となることである。
f'(x)=3x2-3p=3(x2-p)
f(x) が極値をもつ条件は
このとき, f'(x)=0から
f(x) の増減表は次のようになる。
X
p>0
x= ± √p
極大
ÄL
極小
x

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

すけ

極値をもつとは、グラフが右上がりから右下がりに変わる、または右下がりから右上がりに変わる点があるということです。

3次関数が極値をもつときは極大値と極小値をとることができるので、x軸との共有点を3つとるためには必要な条件です。
(簡単にまとめると、グラフが上がったり下がったりしないとx軸と3つも交点もたないよねってことです。)

次に極大値と極小値が異符号であることについてです。
例えば極大値と極小値がともに正であるとき、x軸との共有点は1つしかないことが分かります。極大値と極小値がともに負のときも同様です。
また、極大値と極小値が異符号のとき、x軸との共有点は3つありますので、これも必要な条件です。

悠

とてもわかりやすく助かりました。ご回答ありがとうございます。