35)
で
AB
座標を利用した証明 (1)
基本例題 72
(1) △ABCの重心をG とする。 このとき, 等式い
AB2+BC + CA=3(GA²+GB2 + GC2) が成り立つことを証明せよ。
(2) △ABC において, 辺BC を 1:2に内分する点をDとする。 このとき, 等式
2AB2+ AC2=3AD2 +6BD” が成り立つことを証明せよ。
指針 座標を利用すると, 図形の性質が簡単に証明できる場合がある。そのとき
座標軸をどこにとるか、
与えられた図形を座標を用いてどう表すか
がポイントになる。そこで後の計算がらくになるようにするため、問題の点がなるべく
多く座標軸上にくるように 0 が多いようにとる。
(1) は A(34,36),B(-c, 0), C(c, 0) とすると,重心の性質からG(a,b)
(2) は A(a,b),B(-c, 0), C(2c, 0)
GAA
CHART 座標の工夫 11 0 を多く ② 対称に点をとる
解答
(1) 直線BC をx軸に, 辺BCの垂直二等分線をy軸にとると,
線分BCの中点は原点0になる。 A (3α, 36), B(-c, 0),
C(c, 0) とすると, Gは重心であるからG(α, b) と表される。
よって
AB' + BC2 + CA2
=(-c-3a)2 +962+4c²+(3a-c)'+962
=3(6a²+6b²+2c²)
GA2+ GB2+ GC2
= (3a-a)²+(3b-b)²+(-c-a)²+b²+(c-a)² +6²
=6a²+662+2c2
①②から
AB2+BC2+CA²=3(GA²+GB2+GC 2 )
(2) 直線BC をx軸に点Dを通り直線BCに垂直な直線を
y軸にとると、点Dは原点になり, A (a,b), B(-c, 0),
C(2c, 0) と表すことができる。
(x+
よって
2AB' + AC2=2{(-c-a)+(-6)^}+(2c-a)+(-6) 2
=2(c²+2ca+a²+6²)+4c²-4ca+a²+ b²
=3a²+36²+6c²
3AD²+6BD²=3(a²+b²)+6c²
①②から
①
2AB2+AC2=3AD2 +6BD2
基本71 基本85
B
(-c,0)
0
34
A(3a,3b)
(G (a,b)
BA
(-c, 0) OD
(C,0) x
A(a, b)
2 C
(2c, 0) *
SE,99
とする｡ このとき, 等式
117
ET
3章
2直線上の点、平面上の点
