テーマ
26 確率 ⑥
★★☆
C 30分
問題26
1からnまでの番号のついた n枚の札が袋に入っている。 ただい
同じ番号の札はないとする。 この袋から3枚の札を取り
(京大文系・05前)
出して, 札の番号を大きさの順に並べるとき, 等差数列になっている |
確率を求めよ。
(理解
試行のヒント①
「nがらみ」 ですね。 n に, 具体的な値を代入して実
験しましょう。 n = 3,7,8でやってみてください。 等差数列は何通
りできますか?
1 2②3
こんな問題ですね。
取り出し方は全部でn C3 通り
ですが,「等差数列になっている」のは
どんなときでしょうか? ちょっとわか
らないので、 具体的に考えてみましょう。
「n≧3」 なので, n=3とすると,
3C3通り
1, 2, 3
(同時に)3枚取り出す ( 2 C3 通り)
0.0.0
等差数列になっている
第4音 確率 (合の数合わ
1枚目2枚目3枚目の区別はあり
ませんから, „P3通りではないです。
「大きさの順に並べる」のは3枚が決
まると1通り。 ととなら
①4 <⑦の1通り。 (｢大きさ」の
「小さい方」 から並べました。)
り出し方は全部で 3C3 = 1 (通り)しかなく, イマイチです。 1, 2, 3
等差数列にはなっていますが…....。もう少しぃを大きくしてみましょう。
n = 7 とすると,
CLES
123
4 5 6 7
ですから, 1, 2, 3 4 5 6 7 から3枚取り出して等差数
のは、
●公差1の等差数列
1, 2, 3
2, 3,
4
3, 4④,
15
4, 5,
12
15 6
16
■公差 1
1, 2, 3
7
の5通り
公差4以上はムリなので,全部で
5+3+1=9 (通り)
n=8の場合も調べてみましょうか。
4
4
7 18
5
16
6
C3通り
●公差2の等差数列
7
6
5, 7
の3通り
18
の6通り
3通り
■公差 2
1, 3, 5
2, 4, 6
17
● 公差3の等差
こちらも公差4以上はムリで、 全部で
6 +4 + 2 = 12 通り
3枚のうち、一番小
て数えるとわかり
8
の4通り
の1通り
では,一般のnで考えてみましょう。
● 公差
12
●公差1の等差数列は,
円 ②,③から②,-1,囚までの
●公差2の等差数列は,
までの
具 ③,⑤から-4, n
●
・公差3の等差数列は,
①④,7から一旦、n-3, までの
さて,どこまで続くんでしょう?
tritti
計画
気づきましたか? nが偶数か奇数かで場合分けが
試行のヒント②
必要です。 n ≧ 3 ですので, n=2k+1,2k+2 (k≧1) で場合分けし
て, 一般化しましょう。
nが奇数のとき、n=2k+1とすると、n≧よりk=1,2,3,
公差がいちばん大きいのは,
で合計
公差k で, 1,k+1,2k+1
の1通りです。ですが,nが偶数のとき、n=2k+2(k=1,2,3, --)
とすると,公差がいちばん大きいのは,
公差kで,
1 k+1, 2k+1
2 k+2, 2k+2
の2通りですね。 ですから,
n=2k+1(k≧1) のとき
公差1n-2=2k-1 通り
公差2 n-42k-3通り
公差3n-6=2k-5通り
:
公差 k
1通り
2通り
4通り
6通り
(2k-1)+(2k-3) + (2k - 5) +
+1通り
1~2k-1 の奇数の和
です。これでイケそうです。
74 第4章 確率 /JA
|n=7のとき,k=3で.
公差3,4,7
n=8のとき,k=3で
公差3
1, 4, 7
と2.5.
n=2k+2(k≧1) のとき
公差1 n-2=2k通り
公差2 n-42k-2通り
公差3n-6=2k-4通り
公差k
で合計
2通り
2k + (2k-2) + (2k-4)+
・+2 通り
2~2kの偶数の和
この説明では解決しませんでしたか？