Question

ℎ

数学的帰納法の証明についての質問です。何故黄色線の所でn＝2の場合も証明してるんですか？(I)ではn＝1の場合だけで良いと思うのですが。何か理由はありますか？

例題 5.2
tを実数とし,α, β を 2次方程式x 2-tx-1=0の2つの解とする. 自然数n
に対して, an = " + β” とおくとき,
(1) a3, a4 を tを用いて表せ.
(2) an+2
(3) an は係数が整数となるtのn次多項式として表されることを示せ.
(4) an を tの多項式として表したときのt"-2の係数を求めよ。 ただし,n≧3と
する.
を
(3)
an, an+1, tを用いて表せ.
「an は係数が整数となるtのn次多項式である」
がすべての自然数nに対して成り立つことを数学的帰納法を用いて示す
(I)n=1,2のとき,
{ a=t, az=t²+2
より,(*)は成り立つ.
(II)n=k,k+1 (k=1,2, 3, ･･･) のとき (*) が成り立つと仮定する. (2) より
ak+2= tak+1+ak
であり,帰納法の仮定により, tax はtの(k+2) 次式, aヶはk次式であり,ともに係数は整数
であるから, ak+2 は係数が整数であるtの (k+2)次多項式となり,n=k+2のときも(*)は成
り立つ。
₁1=8+0]
(I), (II) より , すべての自然数nに対して(*)は成り立つ.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

混成軌道

一般的な帰納法ではまずn=1で成り立つことを言って、その後にn=kで成り立つと仮定した時にn=k+1で成り立つことを証明しますよね？。今回の問題では、(Ⅱ)でn=kとn=k+1が成り立つと仮定した場合にn=k+2の時も成り立つ、つまり仮定が2ついります。そのため最初に示すべきものもn=1のときとn=2のときの2つ必要になります

ℎ

ありがとうございました😭💞とても分かりやすくて理解出来ました！！

混成軌道

よかったです😊