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基本 例題 106 約数の個数と総和
(1) 360 の正の約数の個数と,正の約数のうち偶数であるものの総和を求めよ。
(2) 慶応大]
(2) 12" の正の約数の個数が28個となるような自然数nを求めよ。
(3) 56の倍数で,正の約数の個数が15個である自然数nを求めよ。
指針▷ 約数の個数, 総和に関する問題では,次のことを利用するとよい。
自然数Nの素因数分解が N = pag...... となるとき
正の約数の個数は (a+1)(6+1)(c+1)......
E©**** (1+p+p²+...+pª)(1+q+q²+···+q')(1+r+r²+...+pc).….…...
(1) 上のN2を素因数にもつとき, Nの正の約数のうち偶数であるものは
2aqb.gc…..... (a≧1,b≧0,c≧0,...;q, r, ・は奇数の素数)
1+ の部分がない。
【CHART 約数の個数, 総和 素因数分解した式を利用
468 基本事項
と表され
その総和は (2+2²+...+2ª)(1+q+q²+…+q°)(1+r+r²+...+rc)...
を利用し, nの方程式を作る。
(2)
(3) 正の約数の個数 15 を積で表し, 指数となる a, b, ・・・・・ の値を決めるとよい｡
des
15 を積で表すと, 15･15･3であるから, nは15-11-1または 13-1の形。
となる
解答
(1) 360=2･32･5 であるから,正の約数の個数はAVH-S-
(3+1)(2+1)(1+1)=4・3・2=24(個)
また,正の約数のうち偶数であるものの総和は
←p,g,r, ….. は素数。
pag're の正の約数の個数は (α+1)(6+1)(c+1) (p,q,r は素数)
(2+22+2)(1+3+32)(1+5)=14・13･6=1092
(2) 12"=(22･3)" = 22" ･3" であるから 12" の正の約数が 28 個
であるための条件は (2n+1)(n+1)=28
よって
nは自然数であるから n=3
(3)の正の約数の個数は 15 (=15･15･3) であるから, nは
14 または pq2 (p, g は異なる素数)
の形で表される。
2n²+3n-27=0 ゆえに (n-3)(2n+9)=0 たら誤り。
積の法則を利用しても求め
られる (p.309 参照)。
ONT
RJUUS 1=5310 A
◄(ab)"=a"b", (a")"=a™
のところを2m n とし
素数のうち、
偶数は2の
みである。
15.1から p15-1g1
5.3 から -13-1
nは56の倍数であり, 56=23.7であるから、n は の形の場合は起こらない。
で表される。したがって, 求める自然数nは
n=24・7=784
<p=2, g=7
練習
② 106 (2)正の約数の個数が3で,正の約数の総和が 57 となる自然数n
(3) 300以下の自然数のうち
工の数
求めよ。
(1) 756 の正の約数の個数と、 正の約数のうち奇数であるものの総和を求めよ。
n を求めよ。
重要 例
√√n² +40
指針net
よって
ここて
を利用
このと
更に,
CHART
解答
√n²+40=r
平方してn
mnは自然
4の約数
また,m+n
m+n
m-n
解は順に(
したがって,
検討 積カ
上の解答の
1つである
答えにたど
また,上
の自然数の
は、右の
が決まるが
ある。 ちな
という条件
ため、組
しかし, 上
る。なお,
一致する。
更に効
