Question

低脳

微分の最大最小を求めるような問題で

増減表はよく書きますが

赤で囲った部分の+とかーとかってどうやって求めるんですか？

また、極地と端の値を比べれば良いだけなので増減表を書く必要はないと思うのですが

なぜ書くのですか？

頭角
うに
|練習
③ 100
172
について,次の問いに答えよ。
4sinx+3cosx+1
関数y=
7sin x+12sin2x+11
(①) f=4sinx +3cosx とおくとき,のとりうる値の範囲を求めよ。
1で表せ。
〔類 日本女子大]
(2) yの最大値と最小値を求めよ。
SI
解答
100 関数の最大・最小 (3) ・・・おき換え利用
10 Hyper
指針 (1) 三角関数の合成を利用。 また, t = (4sinx+3cosx) を考えると,
の式が現れる。
(2) (1) の結果を利用して,yをtの分数関数で表す (簡単な式に直して扱う)。
yをtで微分。 また,そのとりうる値の範囲に注意 して最大値と最小値を求める。
DAMNED
CHART 変数のおき換え 変域が変わることに注意
(1) t=√42+3°sin(x+α)=5sin(x+α)
ただし
よって
-1≦sin (x+α)≦1であるから
また
t2=(4sinx +3cosx) 2
=16sin x+24sinx cosx+9cos2 x
|=7sin'x+12sin2x+9
sino=2/31, cosar=1/30
5
y
y=
0
極小
1-3
4
1+√/3>-4 1-√3
4
27
(4sinx+3cosx)+1
(7sin²x+12sin2x+9)+2
1.(t2+2)-(t+1)・2t t2+2t-2
(2+2) 2
(²+2)²
(2) y'=-
y'=0 とすると
t2+2t-2=0
これを解くと
t=-1±√3
5≦t≦5 におけるyの増減表は次のようになる。
to -5 |-1-√3 -1+√3
Vº
27'
t=-1+√3 で最大値
-5≤t≤5
<
==
1+√3
4
+
=
0
|極大
1+√3
4
t+1
t²+2
1
7
LO
5
であるから,yは
0<x< を満たす実数xに対して, t=tanx とおく。
6
(1) tan 3x をtで表せ。
(2)xが0<x<1の範囲を動くとき, tan³x
YA
の量は
3-
0
また、
大量う
yの式の
LYO
5
a
4
<(") = ²
13
H
4
t2=9(sin'x+cos'x)
+7sin²x+12•2 sinxcosz
t=-1-√3で最小値1-√3
u'v-uv
02
+√3
y=
672√3
±1
2(√3+1)
E
t=-1±√3のとき
_ ± (√3 ±1)
2(3-1)
=1± √3
4
10
関数 y=ex{2x2
定数の値を求
基本
X
4 5130
例題
をとる。
指針
(複号同順)
解答
最大値
ここで
端点に
なお
CH
y'=
[1

94
二較して求める。
域を調べる。
重要 100%
円) ≧0から
x≦0
=√4-x-x
2
2
√√2
る。
最小
とが知
2-x²
x
99 関数の最大 最小 (2)
基本例題
次の関数に最大値、最小値があれば,それを求めよ。 ただし, (2) では必要ならば
Vlimxe
99
100
2x=limx'e=0を用いてもよい。
x-∞
(1) y=
2x
x2+4
1・(x2+4)-x・2x
(x2+4) 2
2(x+2)(x-2)
(x2+4) 2
y'=0 とするとx=±2
よって, 増減表は右の
ようになる。
また
limy = 0, limy=00
X→∞
指針
最大値・最小値を求めることの基本は'の符号を調べ, 増減表を作って判断。
この問題では, (1), (2) とも定義域は実数全体(−∞<x<∞) であるから,端の値とし
ては, limy, limy を考え,これと極値を比較する。
CHART 最大 最小 極値,端の値, 極限をチェック
(1) y'=2..
ゆえに
y'=0 とすると
x-00
ゆえに
2'
よって, 増減表は右の
ようになる
また
y=
x=
(2) y=(3x-2x2)e-x
3
XC
y'
y
(2) y'=(3-4x)ex+(3x-2x2) (-e-x)
=(2x2-7x+3)e-x
=(2x-1)(x-3)e-x
x²-3x
x2+3
x
T
1
x=2で最大値 x=-2で最小値-
2'
V'
7
y
...
-2
F
20
→
小12
極小
1
2
0
極大
大 1 2
+:
e-m
V
7
1
2
lim(3x-2x2)e-x=0, lim (3x-2x2)ex=-86
x→18
2
0
極大
1
2
3
0
極小
-9e-3
x= で最大値e , 最小値はない
2
練習
次の関数に最大値、最小値があれば,それを求めよ。
...
1 +
[(2) 類 日本女子大]
基本 98
[類 関西大] (2) y=ex+x-1
A lim
(分母)>0から, 定義域
は実数全体。
x ±∞
(1)
2
x+
最小
YA
4
x
0
t-8
=0
B x = -t とおくと
最大
0 2
(2) y
1/1/201
=lim(-3t-2t2) et
=18
lim- =0
X→∞
|最大
[参考] 一般に, k>0のとき
xk
ex
171
2
-9e-3
x
3
4章
最小ではない
4
関数の値の変化、最大・最小
[類 名古屋市大]

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

nasa

+−の判断をする際は、導関数を見たときに+−に関与する関数のグラフを書けば良いです。

なぜ増減表を書くのか
y＝f(x)という関数があったときにf'(a)＝0となるようなaがあるからといって、この関数はx＝aで極値をとるとは必ずしも言えないからです。x＝aで関数の増減が入れ替わっていて連続であると言うことを採点者に示すためにも増減表を書いておく必要があるのでないでしょうか？

低脳

超納得しました