Question

あ

(3)の求め方がいまいちよく分かりません。
なぜx^b = e^t と置くのか教えてください。

2
正の実数x について, 以下の問いに答えよ。
□(1) 自然数nに対し、不等式x>ざ が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ。
n!
1(2) 前問で示した不等式を用いて極限値 lim/
xa
を求めよ。 ただし, α は実数の定数である。
x→○
□ (3) 前問の結果を用いて極限値 lim xblog x を求めよ。 ただし, b は正の実数である。
x→+0
('17 名古屋市立大薬)
次製ける

Pが、
いて成り
は、次の
平成り立
成り立
k+1
立つ。
微分
る
する
とお
ゆえに,⑤より, はさみうちの原理から,
xa
lim = 0 ..... (答) E
x+∞ ex
(3) x=et とおくと,両辺ともに正により、両辺の自然対数をとって, F
blogx=-t
x=etとおく
t=-blogx
x→+0のとき, b>0より,t→∞である。
また,
xblogx=e
ゆえに,
(1)
1 t
bet
よって, t→∞ のとき,
1t
-1-1-0
Check □はさみうちの原理を利用することができたか
振り返り
Geeke xlog xとを比較して変数を置き換えることができたか
ここで, (2)においてα=1の場合を考えると, t→∞ のとき,
0
lim x log x = lim
x→+0
- lim (-2)
18
=0 ......(答)
基礎事項
はさみうちの原理
g(x) f(x) sh(x) において,
x→∞ のときg(x)→α,
h(x)→α
⇒f(x)→α
F POINT 3
求めたい式と利用できる
式を比較して, 変数を置
き換える
極限を求めたい式 x "log x と利
用できる式の2つを比較す
ると、1=
ex
い。 そこで, x=e とおいて
考える。
=exの形をつくりた
|Gx→+0のとき, logx→∞で
あり, -6<0 だから,
blog x→∞
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