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基本 例題 112 互いに素に関する証明問題 (1)
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(1)
自然数とする。 n +3は6の倍数であり, n +1は8の倍数であるとき,
n+9 は 24の倍数であることを証明せよ。
(2) 任意の自然数nに対して, 連続する2つの自然数nとn+1は互いに素であ
ることを証明せよ。
p.476 基本事項 ②. 基本 111 重要 114
指針 (1) 次のことを利用して証明する。 α, b, kは整数とするとき
a,bは互いに素で, ak が6の倍数であるならば, kは6の倍数である。
(2) nとn+1は互いに素⇔ nとn+1の最大公約数は 1
nとn+1の最大公約数をg とすると
n=ga, n+1=gb (a, b は互いに素)
この2つの式からnを消去してg=1 を導き出す。 ポイントは
A,Bが自然数のとき, AB=1 ならば A=B=1
【CHART
α, bは ① ak=blならばは6の倍数はαの倍数
互いに素 ②2aとbの最大公約数は1
解答
(1) n+3=6k, n+1=8ℓ (k, lは自然数) と表される。
n+9=(n+3)+6=6k+6=6(k+1)
n+9=(n+1)+8=87+8=8(+1)
よって 6(+1)=8(+1) すなわち 3(k+1)=4(+1)
3と4は互いに素であるから, k+1は4の倍数である。
したがって, k+1=4m (m は自然数) と表される。
ゆえに n+9=6(k+1)=6.4m=24m
したがって, n +9は24の倍数である。
(2) nとn+1の最大公約数をgとすると
n=ga, n+1=gb (a,bは互いに素である自然数)
と表される。 n=ga を n+1=gb に代入すると
ga+1=gb すなわち g (b-α)=1
g, a, b は自然数で, n < n +1 より 6-α>0であるから
g=1
よって, nとn+1 の最大公約数は1であるから, nとn+1
は互いに素である。
注意 (2) の内容に関連した内容を, 次ページの[参考] で扱っている。
このとき, 1+1は3の倍数
である。 したがって,
7+1=3m と表されるから.
n+9=8.3m=24m
としてもよい。
n=ga, n+1=gb
積が1となる自然数は1だ
けである。
あ、例が間違ってました、すみません。
1=g(b-a)のときb-a>0ならg=1と言えるのはなぜですか？